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et qu’on obtient ainsidx

A

IN

= L (Lx) + const.

xé^Lx)

40. Pour intégrer les fonctions exponentielles, il fautse rappeler qu e.(voy. Différence. 3a)

d(a x )=a x .La.dxexpression qui fournit

I /*

a*d x — j-. d(a x ) } d’où J a x dx = —-f- const.

41. En opérant Yintégration par •parties , sur l’inté-grale J n a*x n dx , de laquelle dépend l’intégrale géné-rale j 'P a x dx } lorsque P est une fonction rationnelleet entière, on obtient : pour n positive (43)

f a x x n dx = - — f a x x n - l dx

j La La J

et pour celui de n négative (44)

/ a x dx a x . La Pa x dx

x n («— i)'x n ~ l ' n —•! J x n —'

f

a x dx

x

Lx

ne peut être obtenue qu’à l’aide des séries.

43. Pour obtenir la génération de ces deux intégralesparticulières, remplaçons dans la fonction a x x n dx, a xpar son développement ( voy . Logarithmes),

. (La).x«■* = 14--—-— ■

(L«)’.^ + ^| 3 +e tc.

1.2

nous trouverons, en intégrant ensuite chaque terme enparticulier,

/V.W.r=Æ-uïltî- L « - &+'(LaY . ... , n

, .(«q^j+r^+3) + etc -+ c

Cette série qui donne, pour toutes les valeurs positivesde/i l’intégrale delà fonction exponentielle générale,doitrecevoir une modification dans le cas de n négative , ilfaut y remplacer le terme-parLx. Car ce terme

est alors obtenu par l’intégration dedx

qui donne

3?—*n+n+i

yt-*

dont la valeur, comme celle de l’intégrale du n° 39, (46)j'x’ n dx

En ayant égard à cette particularité, on obtient, enfaisant n=—1 ,

/ a*dx T , xLa , xéLa)* , x 3 (La ) 3 . . n

—= Ll +rnr^r!d-+-n£o +'“• + <=

4à. Le développement de l’intégrale (45), nous con-duit à celui de l’intégrale (46), en ramenant cetle der-nière à la forme plus simple ce que l’on fait c;

posant x m + 1 =z } car on a alors

, dz T Lz

X m dx = —■;-, Lx=-:-

m-\-i m-\-\

en

et, par conséquent,

4^. Ces expressions, comme celles des numéros précé-dens,conduisent à des développemens dont nous devonsnous contenter de signaler les particularitésles plus impor-tantes.Lorsque «est un nombre entier positif, (43) donnetoujours dans un nombre fini de termes l’intégrale dela fonction exponentielle , sans la faire dépendre d’au-cune autre intégrale; mais lorsque n est un nombre en-tier et négatif, ce qui conduit à l’expression (44), l’inté-grale générale dépend de l’intégrale particulière (45)

/ ,Xmdx pdz

Lx J Lz'

Supposons maintenant z—a x ' , il en résulte {voy. Lo-garithme)

d’oû

Lz = L(« x ') = x' La ,

x =¥ , et Lx' = il- = LLz—LL«L« La

on a donc

/ 1 a x 'dx' _ pdzLz

et, en substituant toutes ces valeurs dans le développe-ment précédent, on obtient

/|ï=LL 5 +tî+!.fcï+I. üî'i+ctc.+C1/ Lz 1 1 1 2 1.2 1 3 i.2.3 1

LLa se trouve compris dans la constante C.

45. En observant que, d’après l’exprossion (22),on a

dx

^====d[arc{ sin=x)]

on voit que l’intégrale d’une fonctionfX.dx. arc (siti = x)