m
qui contient un arc de cercle, peut toujours êtreobtenue facilement par le procédé de Y intégrationpar parties , lorsque tçx.dx est une différentielle élé-mentaire, car en faisant J °<j).r.û?j:=U,et arc(sin=x)=Vce procédé donne
jtyx.dx, arc (siu= x)=U. arc (sin = x) — J* Ut/V
r xsdx
' =U. arc (sin=ar)— / ■■ —■ =
V l— X 2
La dernière intégrale est comprise dans celles traitées ci-dessus.
Soit, par exemple, <fx.dx=x m dx , il en résulte
IIS
133
S
dx.cosmx
, . -=- -cosêcmx -j- C
(sin mx) 2 m
-j-C
msinmx
Ces six intégrales donnent les moyens d’obtenir cellesde toutes les fonctions rationnelles et entières de sinus etde cosinus.
47 . Proposons-nous, par exemple, d’intégrer(cos x) m dx. Nous avons (Voy. Sinus.)
(cos x) m ^= — j cos mx- 1- —cos ( m — 2 )xv ' 2 m I 1 m v *
m
m(m — 1 )1.2
cos ( m —4)x+etc.
«/ /?!—p I
et par suite
^ x m dx. arc (sin=x):
arc (sin =jr).r7.2-J- 1
1 P x"‘+ l dx
m+iJ X' ’
46. Quant aux différentielles qui 11 e contiennent pasYarc immédiatement, mais son sinus, ou son cosinus,ou sa tangente, etc., en panant des différentielles pri-mitives (Diff. 33)
d sin x = cos x.dxd, cos a; = — sin x.dxdesquelles on déduit
d sin mx = m cos mx. dx
d cos mx = — m sin mx.dxmdx
d tang mx —d cot mx = —d séc mx =
deoséemx = —
(cos mx)*
mdx(sin mx)*
msinmx.dx(cos mx) 1
m cos mx.dx(sin mx )*
on trouve
dxcosmx = — sin mx -|-C
m 1
/■
/ *tesin mx =-cos mx + C
m 1
/;
/.
/ dx. sin ni(cos mx'
dx 1 . . _
“ m tan S WX + C
dx 1 , _
— -cos mx 4- C
(sin mxy m 1
'dx. sin mx(cos mx) 2
— séc mx -4- Cm ‘
Ainsi, remplaçant (cos x) m par son développement, nousaurons une suite de termes de la forme
kdx. cos [m — p)x
dont l’intégration s’effectuera par la première des for-mules précédentes.
Si m=4, on trouve
(cosa:) 4 =^g | cos ^x -)- 4 cos 2x -}- 6 cos o -|- 4 cos ( — i)x
+ cos(—4)x|
ou, à cause de cos o==i, et décos (— px)=cosfix(cosx) 4 =-^ 12 cos 4a:-(-2.4 cos 2.r-j-6 |et, par suite,
J'dx(cosx) i =coil^x,dx-\- ^ cosar. c/x-j- g c/xj
= j^sin 4x-|-^ s ‘ n2X +g a; + C
S’il s’agissait d’intégrer (sin x) m dx, on procéderaitd’une manière analogue, en développant (sin.r) m par laformule connue (Voy. Sinus.)
48. Examinons le cas le plus général, savoir :
(sin x) m . (cos x) n dx ;
m pouvant être paire ou impaire, désignons-la par2/» dans le premier cas, et par 2/n-|-t dans le second, lafonction à intégrer sera alors
(sinx) 2 m (cosx) n dx , ou (sinx) s "‘+i ,(cosx)ndx.
Or, (sinx) î " , = (sin’x)" 1 = (i — cos’x)" 1 , ainsi(siux) îm (cos x) n dx= (i — cos 2 x) ,n (cos x) m dx
— (cos x) m dx — 77 »(cosx)'«+ *dx >
. jn(m —i).
--(cosxV» -\-kdx
t. 2 ' '
— etc.