AU IN

expression dont on intégrera le second membre termepar terme , par le procédé précédent.

On a aussi

(sinx) 2m -t- I qcosx) n c?.z. = sinx.(sinx) 3m (cos^) n <^x

=(i—cos’x)" 1 . (cosx) n .si nx^/x

= — (i —cos 5 x) m .(cos.z) n .récosx

Faisant donc cosx=s, on changera le second membrede cette expression en

— (i— Z*yn.7Pdz,

qu’on intégrera terme par terme, après avoir développéla puissance.

On peut aussi appliquer immédiatement l’intégrationpar parties à ces sortes d’expressions.

4 <), Toutes les intégrales prises en laissant la quantitévariable x entièrement indéterminée , se nommentintégrales indéfinies , elles doivent, ainsi que nous l’a-vons dit, renfermer une constante arbitraire pour êtrecomplètes, mais lorsqu’on détermine la variable ou quedu moins on lui assigne des limites, l’intégrale prendalors le nom d 'intégrale definie. Par exemple, si l’inté-grale complète de la fonction z/x.dx est '

fX.dx— fx C

IN

mites x=a. x=b , et en retranchant ensuite le premierrésultat du second. On n’a plus besoin d’ajouter de con-stante arbitraire puisqu’elle est éliminée par la sous-traction.

Pour indiquer une intégrale définie prise entre les li-mites a et b , on se sert généralement aujourd’hui de lanotation de Fourier, qui est *■

b

(px.dx

a

Euler a employé celle-ci, dans ces ouvrages,f Ç x,ix

qui est moins simple.

Il résulte de cette notation que si a, b, c sont trois va-leurs différentes de x telles que cf>b , bf>a , on a

c <px.dx = r <px.dx-\- r éx.dxa U a U b

car cette égalité est la même chose que

fc —fa —fb—fa + fc —fb —je —fa

5 o. L’expression générale de l’intégrale définie

b

tpx.dx

fx désignant la fonction variable résultante de l’intégra-gration, et que cette intégrale doivent s’évanouir pourla valeur x—a ; la constante arbitraire se trouve dé-terminée par l’équation

o =fa-\- C , d’où C = —fa

se tire facilement du théorème de Taylor ( Voy. diff.34 ) car, en désignant toujours parjfc la fonction varia-ble de l’intégrale indéfinie

J^<fxdx —fx -(- C

et l’intégrale devient

J'<fx.dx =fx—fa

Il est évident que sous cette forme, l’intégrale n’estplus que la différence entre la valeur de la fonction fxlorsquex=a, et celle qui résulte, pour cette fonction,de toute autre valeur de x ; pour x—b , on a alors

on a, en vertu de ce théorème, lorsqu’on augmente xd’une quantité m,

f{x-\-m) =*/x +

m , d 2 fx m 2 ,

—H-rr-H etc *

1 dx 2 1. a 1

d’où (a)

/(x-f-m)-

fx—ÿ- -J dx x '

d 2 fxdx 2 '

m 2

-1- etc.

1.2 1

J'tsjX.dx—fb — fa

Or, si l’on s’arrête à cette valeur b de x, on dit quel’intégrale J'yx.dx doit être prise depuis x=a, jus-qu’à x=b , ou que l’intégrale commence lorsque X—a,et finit lorsque x=b. Ces deux valeurs de x, a et h senomment, dans ce cas, les limites de l’intégrale.

La valeur de F intégrale définie se trouve donc en cal-culant successivement ce que devint la fonction variablefx, de 1 intégrale indéfinie _/x-j-C, pour les valeurs li-

Mais

tpx.dx = dfx

et par suite

a,-r— C î&- _dfc

dx ' dx dx 2 ' dx 2 dx 31 ° C "

Ainsi substituant ces valeurs dans (0) et faisant x=aet m=b—a on obtiendra (47)

f.

-a ) 2

d 2 <fx{b — a ) 2

Sïrrï. J i+ M -