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ou un minimum; en différentiaut cette fonction, nousavons

dyiax —x 1 ) = ladx — 2 xdxet, par conséquent, l’équation de condition est2 adx •— 2 xdx = o

ou, simplement, en divisant les deux membres par dx,2 a — 2X = o

d’ou l’on tire x = a. Cette valeur substituée dans lafonction proposée la rend égale à a 1 .

Pour savoir maintenant si a 1 est le maximum ou leminimum de la fonction 2a.r — x’, substituons suc-C'ssiveineul dans cette fonction a + h, et a - - h , à laplace de x, k étant une quantité quelconque, nousaurons pour résultats les deux valeurs

' 2 a(a -J- h) — (a -f- h )' 1 = ü 1 — h*

ia(a — h) — (a -— h)' — a 1 — h s

lesquelles étant toutes deux plus petites que a 1 , nousfont connaître que a 1 est un maximum.

Les conditions (i) qui distinguent le maximum duminimum , donnent lieu à une considération généraletrès-importante, en ce qu’elle abrège d’abord les opé-rations et qu’ensuite , elle sert à reconnaître la possi-bilité même de l’existence des maxima et minima dansune fonction proposée. Voici cette considération: sil’on développe par la formule de Taylor les fonctionsfx-\-h)c\.fx — h), on obtient {yoy. Diff. 34 ) les deuxexpressions

... - . dfx h . dfx /i* , dfx h 3

t'X+h)=f*+i x - 1 +^ 7 ^ + -dx*' 7^3 + etC ’

dfx h

/^-A)=/x---.--

dfx h * dfx h 3

dx 1 1.2 ' dx 3 ' 1 . 2.3

■etc.

Maintenant, d’après les conditions (i), pour que fxsoit un maximum ou un minimum, il faut que ces deuxdéveloppemeus soient tous deux plus petits ou tousdeux plus grands que fx, ce qui d’abord ne peut avoirgénéralement lieu qu’autant que l’on donne à x unetlfx

\ a’eur qui rende -dj- = o , ccqui est la condition (i);

et qu’ensuite celte même valeur de x, mise dans

rende cette quantité négative dans le premier

cas, et positive dans le second. En effet, on peut tou-jours supposer la quantité arbitraire h assez petite pourque chacun des termes de ces dévcloppemens soit plusgiand que la somme de tous ceux qui le suivent et,alois, le signe qui doit affecter une telle somme est

nécessairement le même que celui de son premierdfx h

terme Or le signe de étant positif dans le pre-

mier développement et négatif dans le second, la

somme de tous les termes, à partir de celui-ci, sera

pareillement positive dans le premier développement

et négative dans le second, de sorte que si le terme

dfx h . dfx , ,

, ou son coefficient , n est pas zero,/(x-f-A)

sera plus petite que fx, et f[x — h) plus grande, c’est-à-dire qu’il ne pourra y avoir ni maximum ni mini-dfoc

mum. Mais si = o, les développemens ci-dessusse réduisent à

yr I I \ /• I ^fx 7l* . dflû k 3

A* + 1.) =fx + -J -. _ + — 3 + «c.

et, alors, le signe de la somme de tous les termes quisuivent fx, devant être le même que celui du pre-

/i* cl*foc

mier, -f— —, ou de son coefficient, —r— , si cedx 1 1.2 dx *

coefficient est positif f(x -j- h) et f[x — h) seront tou-tes deux plus grandes que fx , ce qui est le cas du mi-nimum , tandis que s’il est négatif, f(x -|- h) et J\x—h)seront toutes deux plus petites que fx, ce qui est lecas du maximum.

Si nous avons , par exemple , fx = ax 3 — x> enprenant les deux premières dérivées différentielles noustrouvons

— 4 x 3

d*fxdx 1

= 6 ax —- 12X 1 .

La première, égalée à zéro, donne l’équation3 ax* — 4 x 5 — o,

3

qui peut être satisfaite par les valeurs x=o, etx = a ;

/i

substituant ces valeurs dans ia seconde elle donne

n dfx

Pour x = o, —7— = o

dx 1

Pour x = y a , —•~ —_ 9 ^

4 dx> 4

3

la valeur ~^a, répond donc au maximum de la fonc-tion ax 3 — x 4 .

Lorsqu’une valeur de la variable x , fournie par l’é-

d*foc

quation dfx — o, rend —j-- = o, elle ne peut cor