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; cspondre à un maximum ou à un minimum qu’autant
qu’elle rend aussi = o , alors le signe de
détermine la nature de la valeur de la fonction fx,c’es-à-dire, que cette quantité est un maximum sidfx
~dx^' es ^ négatif, et un minimum dans le cas con-
p désignant la moitié du périmètre et a, b, c chacundes côtés (voy. Triangle); nous avons donc ici (3)
S = Vtp(p— a ) (p— x )( a + x —p)}'
Réalisant la multiplication des facteurs du secondmembre, il viendra
traire. En général, lorsque la première dérivée diffé-rentielle , qui ne s’évanouit pas en substituant à la placede x les valeurs données par l’équation dfx = o , estd’ordre pair, il y a maximum si cette dérivée est néga-tive et minimum si elle est positive.
Appliquons cette théorie à quelques problèmes nu-mériques et géométriques. Soit d’abord la fonction
S = \/[iap 3 — a’p 1 — p 4
-j- (a’p— 3ap>-\-tip 3 )x— (p * — ap)x>]
Ainsi, faisant pour abréger :
a ap 3 — a’p 1 '— p 4 = A
fx = 3a*x 3 — b*x -f- c
a*p —3 ap 1 + 2p 3 = B
on trouve en différentiant
p* — ap = C
dfx ,.
= Çja'x' — b*
la fonction dont il s’agit de trouver le maximum seraS tsa [A -j- Bx — Cx 1 ]*
d'fx a
d? = ,8a *
et l’on obtiendra en différentiant
la première dérivée égalée à zéro, donne
s B dx—iCxdx
^ a \/[A-J-Bx—Cx 5 ]
b k
qa l aj* — b* = o, d’où x' — —y gu-
et
Divisant par dx , et égalant à zéro la dérivée, il vient
B — 2 Cx o ,
X =-V\^]=-Ta
D’où
ces deux valeurs de x étant mises successivement dansla seconde dérivée la rendent
, B , «’p—3«p* + 2p 3
Æ_Ï C“ * p-—ap
b 2
+ Qab'y pour x = A- —
3 a
, a’ — 3ap —(— 2p-a p — a
C 7 ,
— ou*-, pour x =s — —
6a
= ï ( 2 p—d)
la première peut donc rendre la valeur de la fonctionproposée un minimum, et la seconde, un maximum;et nous avons
Le côté x doit donc être égal à là moitié du péri-mètre diminué de a , c’est-à-dire que les deux autrescôtés doivent être égaux et que le triangle cherché estisocèle.
fx — c A -== maximum.
J 9 a
On peut obtenir ce même résultat d’une manièrebeaucoup plus expéditive eu employant un procédé
„ -2 b 6 . .
fx zs. c -= minimum .
9 a
indirect de différentiation que nous allons faire con-naître, parce qu’il est applicable généralement auxfonctions composées de facteurs.
Pioblème. De tous 1rs triangles construits sur une’ucme base et qui ont le même périmètre , déterminerc 'elui dont la surface est la plus grande.
Désignons par a la base commune , par 2 p le péri-mètre, et para: l’un des deux autres côtés ; le troisièmecôté sera 2 p — a — x. Or l’expression de la surfaced’un triangle quelconque à l’aide de ses trois côtés est
s= V[p(p— a ) (i>~ b )(p— c )U
Elevons à la seconde puissance les deux membres del’égalité (3), elle deviendra
s- = p(p—«) {p— x ) ( a + x —p)-,
prenons maintenant les logarithmes naturels des deuxmembres de cette dernière, nous aurons