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fixer à priori les différentes voies par lesquelles la rai-sou peut remonter aux premiers élémens de la généra-tion des quantités, car ces différentes voies sont évi-demment ce qui constitue la spécification des méthodesdont nous parlons. »

» Or, comme il ne s’agit ici que de la seule fonctionde la raison qui produit l’idée de l’indéfini, il est d’a-bord clair que les différentes voies dont il est question,ne sauraient être fondées sur la différence des fonc-tions de cette faculté supérieure. De plus, il s’ensuitque la première spécification de ces voies de la raison,si elle est possible, doit être fondée sur la différencede l’emploi pur de la raison , dans la production del’idée de l’indéfini, et sur l’emploi de cette facultéréunie à l’entendement : de là résulterait une divisiondes méthodes infinitésimales déterminatives dont ils’agit, en méthodes directes et en méthodes indirectes.Cette division a lieu réellement, parce que le doubleemploi de la Raisou, sur lequel se trouve fondée cettedivision , a lieu effectivement. »

« lies méthodes directes qui portent sur l’emploi purde la raison dans la production de l’idée de l’indéfini,se subdivisent naturellement en celles qtii remontentaux élémens indéfinis de I’espace ou de l’étendue, et encelles qui remontent aux élémens indéfinis du tempsou des nombres. Les premières forment la méthodeconnue sous le nom de Méthode des indivisibles, et lesdernières constituent le Calcul différentiel.... »

»—Confondant les applications géométriques ducalculdifférentiel avec la nature même de ce calcul, qui est pu-rement algorithmique , comme à l’occasion de la mé-thode d’exhaustion des anciens, les géomètres ont cru,encore ici, que la méthode des indivisibles et le calculdifférentiel étaient identiques; et c’est, en effet, en sefondant sur cette prétendue identité, qu’ils se sont ima-giné que la vraie découverte du calcul différentiel re-montait à la découverte de diverses méthodes particu-lières des indivisibles. C’est une erreur : la méthode desindivisibles et le calcul différentiel n’ont de commun quel’idée de l’indéfini qui en est le fondement; mais ces deuxMéthodes diffèrent essentiellement dans leur nature pro-pre de méthodes : l’une porte sur l’indéfini de l’espace°u de l’étendue, et l’autre sur l’indéfini du temps ou de s^ombres; ce qui certainement est toute autre chose, et' e xige des procédés essentiellement différens. Pour s’enconvaincre, il suffit de considérer in abstracto , comme°n le doit, d’une part la génération purement algorith-mique des fonctions différentielles, et de l’autre part, laSeneration purement géométrique des élémens dits in—divisibles. »

Nous abandonnerons encore ici les développemcns

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pour passer aux méthodes indirectes qui , ainsi qu'onvient de le voir plus haut, se trouvent fondées surl’emploi de la Raison réunie à l’Eutendement, dans laproduction de l’indéfini.

» — Dans la réunion de ces deux facultés intellec-tuelles , l’idée de l’indéfini, considérée objectivement,comme but de l’Entendement, se transforme en idéede la continuité; et considérée subjectivement commemoyen de l’Entendement , elle se transforme en idée dela discontinuité indéfinie. Ainsi, les méthodes indirec-tes dont il s’agit, doivent, suivant cette double déter-mination de l’indéfini, se subdiviser en deux classes .les unes fondées sur la loi de continuité, elles autressur la loi de discontinuité indéfinie. »

» La première classe de ces méthodes est facile à re-connaître : c’est, en effet, la méthode connue sous lenom de Méthode des limites ou des premières et der-nières raisons. — Quant à la seconde classe, il faut,pour la reconnaître, savoir d’abord que la disconti-nuité indéfinie qui en est le fondement, donne, enfait d’algorithmie, la sommation indéfinie qui consti-tue l’algorithme technique des séries ( voy. Phil.des math.); de sorte que, dans la détermination de lasuite indéfinie des termes formant ces fonctions doi-vent entrer nécessairement les premiers élémens de lagénération des quantités qui sont l’objet des séries. Et,en effet, comme on le sait par le théorème de Tayloret généralement par notre loi des séries, les fonctionsformant les coefficiens sont des fonctions différentiellesou infinitésimales. Ainsi, la secoude classe de méthodesdont il s’agit, doit évidemment porter sur les coeffi-ciens du développement des fonctions en séries ; et,comme ou peut le reconnaître maintenant avec facilité,cette seconde classe de méthodes n’est autre que la mé-thode connue généralement sous le nom de Méthode dedérivation , et particulièrement sous le nom de Théoriedes fonctions analytiques.

«Cette déduction des deux dernières méthodes,savoir, de la méthode des limites et de la méthode dedérivation, fixe immédiatement leur véritable carac-tère. On voit en effet que par suite de celte déduction ,le caractère commun de ces méthodes consiste en cequ’elles n’atteignent l’indéfini que dans son résultat(dans son application à l'Entendement;, et non dans sonprincipe (dans la Raisou elle-même). De là vient essen-tiellement qu’à la vérité, ces méthodes peuvent rem-placer le calcul différentiel , mais cju en elles-mêmes,elles ne sauraient être conçues ou expliquées que par lecalcul différentiel. >•

Les méthodes infinitésimales primitives se trouventdonc résumées dans le tableau suivant.

Tome u,

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