MU

8* X 4 ^ 34oa , 74

16 X 8 ~ I28 — * + ‘ 128

Pour abréger les calculs il faut toujours , dans les ré-ductions, obtenir le plus petit commun dénominateur.

Proposons-nous encore de multiplier 2i i8 h i 5 ' 22"par 3 ° i 5 ' t6". On réduira le multiplicande en secon-des de temps, et le multiplicateur en secondes de degré,et comme, d’une part, un jour vaut 864oo"; uneheure, 36 oo”; et une minute, 60", on trouvera

2 X 86400” = 172800"18 X 36 oo” = 64800i 5 X 80” = 900

22

2) i8 h i 5 ' a 3 " = 238522 ”.

d’autre part; comme un degré vaut 36 oo” et une mi-nute 60', on aura

3 X 36 oo" = 10800”i 5 X 80 = 900

16

3 ° i 5 ' 16” = 11716”

ainsi l’opération sera ramenée à multiplier 238522 "par 11 ij 16. Une fois le produit trouvé, ce produit de-vant être des secondes de temps, on le réduira en mi-nutes t heures et jours , en le divisant successivementPar 60.

* 4 - Multiplication algébrique. Le produit de a parb s’exprime, comme nous l’avons déjà dit par

a X b } un par a. b, ou enfin par ab.

Celui de a par b-\- c, s’exprime par ab -f- ac, car adevant être ajouté b +c fois à lui-mêm - —< le prenantd’abord b fois et ensuite c fois, on a deux produits par-tiels ab , ac dont la somme ab -j- ac est a pris b-\-c fois.Ainsi

flX(H c ) = °b-\- bc.

Le produit de deux binômes a-\-b , c-\-d estae-J-°d-\- bc-\-bd , c’est-à-dire, la somme des produits deBeux à deux, des termes qui les composent.

Ln effet, faisant a -j- b — m, on a

m X (c-j-i-/) = mc-j- nul

> remettant a-\-b à la place de m,

( a +b) X {c+d) = (u+à)c -j- {a-\-b)d= ac-\-bc -j- ad-j-bd

Le produit de deux trinômes a-\-b-\-c,d-^-e -\-J!era pareillement égal à

ad- f ae-\-af-\-bd + be-\-bf-{-cd-\-ce-\-cf,

MU 245

c’est-à-dire, à la somme des produits de deux à deuxdes termes qui composent ces trinômes. On le démon-trerait comme ci-dessus.

En général, le produit de deux polynômes quelcon-ques est égal à la somme des produits de deux à deuxde tous les termes qui les composent.

i 5 . Pour multiplier deux quantités algébriques l’unepar l’autre on les dispose de manière que leurs termessoient le plus possible dans l’ordre alphabétique, etqu’ils soient ordonnés par puissances décroissantes ( degauche à droite) d’une même lettre, lorsqu’une mêmelettre se trouve dans plusieurs termes élevée à des puis-sances différentes. On multiplie ensuite tous les termesdu multiplicande par chaque terme du multiplicateuren suivant pour les signes des produits partiels les rè-gles données. (Voy. Algèbre, n. 9.) L’addition de tousces produits donne le produit général demandé.

Exemple I er . On demande le produit de a -j- b npar a — b, c’est-à-dire, le produit de la somme de deuxquantités quelconques par leur différence. On aura

a -J- b

a — b

a*- j- ab— ab — b 1

Produit.,., a 1 — b 1

Les deux produits partiels ab, — ab se détruisant,le résultat a * — b 1 nous apprend que la somme de deuxnombres multipliée par leur différence donne la diffé-rence des carrés de ces nombres ; ce qui est une pro-priété générale ou une loi des nombres.

Exemple 2'. Multiplier a 3 b — 1 a 1 b* -)- 3 b 3 par a’ —3 ab -f- b 1 . D’après la règle il faut former les produitspartiels,

a 3 b X u’, — 2 a 1 i 1 X a N 3i 3 X a%

a J àX — 3ab, — 2 a’i 1 X — 3ai, 3 b 3 X —3 ab

a 3 b X b % — 2 a 7 b 7 X b*, 3 b 3 X b 7

Or, en réduisant tous ces monomes à leur plus simple

expression, on a

a s iX a * ~ a$b, — 2a‘b‘Xa 7 — —2a < i*,3A 3 X n ’ —3a‘b 3aV^X—3 ab ——3 a^b 7 ,—2 a'b'X —3ai=-f-6a 3 i 3 ,34 3 X—3ai—ga44

a?bXb % = a 3 b\ —2ab'Xb‘ =—2a*A4,3é 3 X A * =34‘

et, comme on peut exécuter immédiatement ces réduc-tions, l’opération s’écrit

a 3 b — la 7 b 7 -j- 3 b 3

a 1 — 3 ab -f- b*

a s b — 2 a 4 A* + 3 a’i 3

— 3a 4 i’-f- 6a 3 b 3 —gai 4

-j- a 3 b 3 — 2 a 7 b* 4- 36 5

Produit a 5 i—5a 4 A J -j-7a 3 i 3 -(-3« , 5 3 — 2 «’A 4 —gai 4 -j-3A 5