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de Lalùre et celui , plus complet, de Puissant. Voy taussi le Traité de (Arpentage de A. Lefèvre.
NOCTURNE. (Ast.) C’est l’opposé de diurne, ou cequi a rapport à la nuit.
Arc nocturne. Arc que le soleil décrit ou paraît dé-crire pendant qu’il est au-dessous de l'horizon..
Arc semi-nocturne. Portion de cercle comprise entrela partie inférieure du méridien et le point de l’horizonoù le soleil se lève ou se couche. (Foy. Diurne.)
NOEUDS. (Ast.) Points où l’orbite d’une planètecoupe l’écliptique. ( Voy. Lune et Planètes.)
NOEUD. ( Ge'om.) Figure ovale formée par l’intersec-tion des branches d’une courbe. (Foy. Point singulier.)
NOMBRE. (Alg.) Ce mot dans son acception vul-0 aire désigne une collection d’unités delà même espèce.(Foy. Arithmétique et Mathématiques .)
Les nombres se distinguent en entier.fractionnaire ,rationnel, irrationnel, abondant, amiable, abstrait, con-cret i,figuré, parfait, polygonal, premier, etc. (Voy. cesdivers mots.)
Théorie des nombres. Une des branches fondamentalesdelà Théorie de (Algèbre. (Voy. Mathématiques i3.)
Nous avons dit que la théorie des nombres a pourobjet la double considération qui se présente dans leurnature et nous les fait concevoir comme une agrégationd’unités, ou comme un produit de facteurs, c’est-à-dire,comme étant donnés par l’algorithme delà sommation
A + B = C,
ou par ceux de la reproduction et de la graduationAXB = C , A B = C.
Le premier de ces algorithmes apportant précisémentdans les nombres la considération de l’agrégation desunités, et les deux derniers celle de l’existence des fac-teurs.
Mais en nous bornant à ce double caractère généralde somme et de produit, soit M uu nombre donné entoéme temps par les générations
M = A-f B, M = GXD;
n ° Us aurons nécessairement ( a )
A+B = CXD,
el cette égalité exprimera l’influence systématique etreci P r oque des deux algorithmes primitifs dans la géué-la tiori du nombre M. Or, les lois de cette influence ré-c, proque sont évidemment celles qui lient les quantitésC, D, et rendent possible la double génération enfloestion. Nous allons donner, d’après M. Wrouski, ladéduction de ces lois.
*• Soient n,, n., m, n K , etc., des nombres quelcon-positifs ou négatifs, faisons d’abord
m 257
n t 4 - n t 4 - Wj 4* etc... -J- nu ** Na,.
Si nous formons avec ces mêmes nombres tous les pro •duits différens qui peuvent résulter en les combinantma. m sans permutations, la somme de tous ces produitssera une fonction de N u , et nous pourrons la considé-rer comme le développement de la puissance
(«.+ ra .+«s+«*+etc.... + n«)"
en remplaçant dans ce développement les coefflciens m,
m(m —i) „ , , „ , . ,, .
——-—etc., par 1 unité. M. Wronski désigne par la
caractérisque cette fonction particulière de gradua-tion, qu’il nomme simplement, du nom de ce te lettre,fonction alepk et qu’il écrit
N [Na,]'”.
Nous avons de cette manière,
N L«,+«.]* = », +«.».’ + n\
NK+<P= n . 3 + «-*«•+«> «.'4 - w . 3
etc. etc.
N [”,+"•+”>? = «i 3 +". 3 +" s 3 +«i , ' î ,+ W i , "3+ , V"*etc. etc.
2 . D’après la construction des fonctions alephs on a ,n désignant un nombre quelconque (b),
X[Na,+n]'”=N[Na,] m -}-nN[Na,] m - I 4-n , XLNa,]”»-*-j-etc... -j-n'" - ‘N[Na,]+«”*.
En effet, en prenant simplement la puissance m dubinôme Na, + n, nous avons
(N tu +rt)'”=Na,”'+mNa,'”- I «+?—' n*»-«.- t’+etc.
ou bien en substituant à la place de Na, le polynôme quecette quantité représente
{(«,-{- n M + n, etc... -f- n M ) -)-«}«=
(«. + «. + », —h etc-• •+«a,)"*
+ m(n, + n, +.+ «„,)'"- n
, m(ni —i) , .
+ — 77 -— («.+«.-. • H-"»)"- 1 * 14 ~ etc....
Or, pour avoir le développement final de la puissancedu premier membre de cette dernière expression, il nefaut plus que développer les puissances du polynome(e),
etc.... -J- «a,
qui se trouvent dans le second membre, mais la fonc-tion X[Na, + n]"* est égale à ce développement aprèsqu’on a ôté les coefflciens, 011 a donc eu définitive l’ex-pression (b), puisque les développemens des puissance*du polynôme (c) pris sans les coefficiens sont les fonc-tions alephs
X[N4”, N[N«l"-«, K [N.,]—*etc.
3. Si nous désignons par n p l’un qui leoi.que de*
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