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nombres n, ; n 3> etc., nous aurons évidemment en

vertu de ( b )

NM" = K [N*— n P ] m + n P XtN*—>

+ «VN[N<»-»/>]"-*+<*c.

= X[N(o — n p ]«-\-n P [ XLNo,—

+ «a N [N&. — n P y-' -f n' p X [N*— np] m -*

+ etc...}

= X [Ne— n H y + n P X [NJ'"

et pour tout autre nombre n q , pris également parmi lesnombres n, , n, , n t , etc.

X[Ne]" = X [Ne—«y] M +«yX[N »]’“- 1 ,ce qui nous donne la relation générale ,N[N^-^]'"+«A'XLN,,]'"->=XlNe-%] m +«vX[Ne]'"-‘et définitivement (ù),

XINco — n P ] m — X [Ne— n q y = {n q —n P ). X [Ne]'"-'.

Telle est l’expression de la relation qui existe entre lagénération par sommation et la génération par gradua-tion au moyeu des nombres n,, n } , etc. C’est la loi

fondamentale de toute la théorie des nombres. On voitqu’elle se réduit en effet à la forme («)

4- En établissant entre deux quelconques n p et n q desnombres arbitraires 7ï,-j-n a -}-n,-[-etc... —f-«a, = Ncu, ladifférence {n q — n p ) égale à 2 , 3, 4,5 , etc., on aura ,d’après cette loi, pour la forme primitive de la généra-tion de tous les nombres composés respectivement desfacteurs a, 3, 4> 5, etc., l’expression (e),

X [Ne — n P ]'» — X [Nt„— n q y ;

m étant un nombre entier positif quelconque. — C’estlàl’origine absolue des facteurs dans les nombres entiers.

« Ceux des nombres premiers, dit M. Wronski, quine sont pas compris sous la forme (e), si ce n’est dans lecas où la différence (n q — n p ) est égale à l’unité , et quicependant se trouvent comme les autres dans la suitenaturelle des nombres, c’est à-dire, dans la suite pro-duite par la génération consécutive par sommation, etnommément par l’addition consécutive de l’unité, sontceux qu’on appelle nombres premiers. — On voit main-tenant quelle est la nature de ces nombres, et quel enest le caractère distinctif; on voit que ce caractère estpurement négatif et qu’il consiste dans l’exclusion deces nombres hors des limites de la forme primitive ( d )que nous venons de trouver pour la génération possi-ble des nombres composés de facteurs, à l’exception ducas insignifiant où la différence {n q —n^est égale à l’u-nité. C’est de ce caractère négatif ou d’exclusion quevient 1 impossibilité d’exprimer, d’une manière géné-tale, les nombres qu’on appelle premiers , c’est-à-dire

NO

l’impossibilité de soumettre ces nombres à une loi ;ce sont leurs opposés, les nombres composés de facteursdoul le caractère distinctif est positif qui peuvent êtresoumis a des lois , et par conséquent recevoir uue ex-pression générale ; et c’est cette expression que nousvenons de déduire delà loi fondamentale des nombres.»

G. Il est facile de reconnaître, eu examinant les deuxquantités

XlNio — XIN U — n q \»

qui concourent à la génération des nombres composésdu facteur {n q — nf) , que ces quantités sont construitesd’une manière identique, et qu’il u’existe entre ell s au-cune différence de génération. C’est cette identité deformation qui est le principe premier de la congruencedes nombres {voy. Congruence) et donne lieu à l’ex-pression générale de cette congruence ,

X[N»— n p \ n X [Ncu— n q ]' n , [module = {n q — n p )]- }

sur laquelle reposent conséquemment toutes les propo-sitiows de la Théorie des nombres. ( Foy. Wronski, In-trod. a laPliil. des Math.) Voy. Congruence et Indé-terminé.

Nombre d’or. C’est celui qui exprime l’année cou-rante du cycle lunaire. {Voy. Calendrier, 27.)

NONAGÉSIME. {Ast.) Point de l’écliptique éloignéde 90 ° des sections de l’écliptique avec l’horizou. C’estle point de ce cercle le plus élevé au-dessus de l’hori-zon dans un moment donné.

NONES. Nom que l’on donnait à certains jours dumois dans le calendrier romain. {Voy. Calendrier, 14 •)

NONIUS. [Voy. Vernier.)

NORD, (dsl.) Un des quatre points cardinaux. {Voy.Cardinaux.)

NORMALE. ( G-e'o/n .) C’est la même chose que per-pendiculaire , mais ou se sert plus particulièrement dece mot dans le théorie des courbes. {Voy. Perpendicu-laire et SOUS-NORMALE.)

NOTATION. {A/g.) Représentation ou signe exté-rieur qu’on emploie pour désigner les quantités numé-riques. Par exemple, la manière d’écrire l’exposant au-dessus de la base, dans a” 1 , pour désigner la puissancede cette base, est une notation. |

NUIT. {Ast.) Espace de temps pendant lequel le so-leil est au-dessous de l’horizon.

NUMÉRATEUR. {Alg.) Nom de l’un des deux nom-bres qui servent à exprimer une fraction. {Voy. Frac-tion.)

NUMÉRATION. Génération de tous les nombres aumoyen de certains nombres que l’on considère commesimples ou comme donnés immédiatement. {Voy. Arith-métique, 11.)

Comme il est impossible d’avoir la conception immé-diate d’une pluralité indéfinie d’unités numériques, il