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est essentiel, pour la possibilité de l’arithmétique, dedéterminer médiatement cette conception. Or, cette dé-termination ne peut évidemment avoir lieu que parune combinaison des algorithmes élémentaires primi-tifs, sur lesquels repose en dernier lieu toute la sciencedes nombres, combinaison qui constitue l’algorithmeélémentaire dérivé de la Numération. ( Voy. Mathé-matiques , 4.)

En combinant ensemble les deux algorithmes primi-tifs de la sommation , et delà reproduction , on obtientune génération dérivée, dont la forme générale est (a),

A,. M -f A,. N -f A 3 . O + Ai. P + etc.

Ai, A a , A3, etc. , désignant des nombres donnés par las o;uniatio/i , ou par l’addition successive de l’unité avece Ue-même, et M, N, O, P, etc. , des nombres sembla-bles, mais liés entre eux par une loi, afin que cette géné-1- ation ait une forme déterminée.

Mais pour que cet algorithme soit susceptible de ré-soudre, dans toute son étendue, la question qui nous oc-cu pe, il faut qu’on puisse resserrer les deux générationscomposantes entre des limites arbitraires, et obtenirUeanmoins la génération complète d’une quantité quel-conque. C’est ce qui a lieu en effet.

Ainsi considérant comme donnés immédiatement unecertaine quantité m de nombres A i , A t , A,, etc., etprenant pour les nombres M , N, O, etc., la suite desPuissances progressives du nombre limitant m , ce quiest la loi la plus simple qui puisse lier ces quantités,u°us aurons pour la génération d’un nombre quelcon-que X, suivant le cas le plus simple de l’algorithme ( a ),1 expression (b),

X = A t mp -j- A,mp—* -)- A 3 mp—^ -|- A k mp — 3 -J- etc.

Mais pour sortir du point de vue général , prenonsdix pour limite, c’est-à-dire considérons comme sim-ples les dix quantités

0, 1,2,3, 4,-1, 6, 7 > 8, 9,

et nous aurons pour la génération du nombre X,

X = Ai>o/ 7 -f-A a io?— 1 +A310/'— J + etc.,

^es quantités A«, A,, A3, etc., étant quelques-uns destimbres simples o, 1, 2, 3 , etc.

D *ns l’arithmétique, on sous entend les puissances’ 1, etc. , et les rangs qu’on fait occuper aux

^ombres simples o , 1 , 2, 3 , etc., 11e sont qu’un moyentenir compte de ces puissances. C’est ainsi qu’onn °mme dixaines, les nomb res de l’ordre io 1 j centaines,CCüx de l’ordre io’, etc. Par exemple , en écrivantcomme dans l’arithmétique la quantité X,

a X=-Ai A3 A, A..

A ■

1 > serait les unite's ; A., les dix aines ; A3, les c entai-nes , etc. Supposons pour rendre l’application encorePlus sensible que la génération du nombre X soit,

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a. io 4 -}-3. io 3 -f- 9. i o* —{—5. io* -f- 7- 10 °

on écrirait

X = 2395^.

Et, alors, 2 exprimerait 2 unités de l’ordre io 4 , ou 20000,ou a dixaines de mille ; 3 exprimerait 3 unités de l’ordreio 3 ,ou 3 ooo ou 3 mille ; 9,9 unités de l’ordre 10’, ou 900,ou 9 centaines ; 5 , 5 unités de l’ordre io 1 , ou 70, ou 7dixaines-, et enfin 7, 7 unités primitives. On énonce-rait la quantité X en disant qu’elle égale vingt-troismille neuf cent cinquante-sept unite’s. {Voy. Arithmé-tique, 11.)

Il nous reste à démontrer que la génération d’un nom-bre entier quelconque est toujours possible au moyende l’algorithme (b), quelle que soit la limite m : ce qui seréduit à prouver que la détermination des nombresAi, A,, A3, etc. est possible dans tous les cas.

Or, X étant un nombre entier, soit, s’il est possible,

X = A 0 m° + A t m' -f- A a m 3 -}-A3Ui 3 -j-A 4 m 4 -^-etc...

En divisant les deux membres de cette égalité par mon a

- = A ,m° -j- A .»» 1 -f- A.m*-|- etc.,mm

ou, simplement

- = X. 4 - ^ = X„ reste A..m ‘ m

X, représentant A I ;«'>-|- kjn 1 -j- etc.

Il suit de là que A 0 est le reste de la division de X parrn. Divisant de nouveau les deux membres de l’égalité,X, = A ,m° -j- A,ni 1 -j- A 3 m*-j- A4/re 3 + etc.,par m, il vient

Y A

—- = — 4 -A a / 72 0 4 -Âjtfi 1 - 4 - kwi* - 4 - etc.,mm *

ou

-■- = X. + ^ = X. , reste A,,

en désignant par X a la quantité km 0 -j- Aj/re 1 -{- etc.

Le nombre A t est donc le reste de cette seconde divi-sion. Poursuivant de la même manière jusqu’à ce qu’onarrive à un dernier quotient plus petit que m, les restesdes divisions successives seront les autres nombresA., A>, etc.

Voici le tableau de ce calcul :

X = kjn° A./«■ 4 - A,w 5 -j- A,m 3 -J- etc.

- = ?î-j- j Ai/re°- 4 -Aa/re I -|-etc... j = X,, reste A„.

m m 1 ( J

?• = ?! 4 - f A.n»°+A,»» , + etc... j = X , reste A,.m m l 1

=4 ?* + [ A 3 /re°+A 4 /re‘+ etc... J = X 3 , reste A».

m m s 1

= — -f- | A4m°-|—Àî^-j-etc... |= X4, reste A,.

etc. etc.