un foyer lumineux d’une grandeur supérieure à cellede ce corps.
4* Lorsque l'ombre absolue, projetée dans l’espaceabsolu, est rencontrée par une surface quelconque, satrace sur cette surface forme Yombre relative. C’est seu-lement cette dernière qu’on a besoin de considérer dansla perspective.
On distingue deux sortes d’ombres relatives, l’om-brc droite et Yombre renversée. La première est celleque jette un corps sur un plan horizontal auquel il estperpendiculairej la seconde, celle qu’il jette sur unplan vertical.
5. En considérant un corps opaque AB (Pl. 49, fig- 3perpendiculaire sur le plan horizontal MN et éclairé parle soleil, Y ombre droite de ce corps sera AC , dont lalongueur est déterminée par le rayon lumineux DBCqui rase l'extrémité B du corps. On trouve, parlespropriétés du triangle rectangle BAC , que le rapportentre les longueurs AC et AB de l’ombre et du corpsest le même que celui des sinus des angles ABC, BCA ;et, comme le sinus de ABC est la même chose que lecosinus de BCA, et que de plus l’angle BCA est l’anglede hauteur du soleil au-dessus de l’horizon, l’on a donc,en désignant par h cette hauteur ( 1 )
AC : AB : : cos h : sin h.
Ainsi lorsque cos h = sin h , ce qui arrive lorsquele soleil est élevé de 45° au-dessus de l’horizon, l’orn-bre droite du corps est égale au corps même ; elle estplus grande tant que cos h est plus petit que sin htc’est-à-dire depuis o° où elle est infinie, jusqu’à 4 5°; etelle est plus petite tant que cos h est plus grand quesin h, c’est-à-dire depuis 45° jusqu’à la plus grandehauteur du soleil au-dessus de l’horizon, hauteur quivarie suivant les saisons et d’après la position des lieux.
S’il s’agissait de calculer la longueur de l’ombredroite, celle du corps étant donnée et vice versa , on seservirait des expressions
. AB. cos h AB
AC = -r—: = -7-
sm/t tang/i
. AC. sin h . _
AB —-—— = AC. tang h ,
cos h 0 ’
qui se déduisent de la proportion ( 1 )
Les premiers géomètres se servaient de l’ombredroite pour mesurer la hauteur des corps , ou du rap-port de cette ombre avec la hauteur connue du corpspour trouver la hauteur du soleil; mais cette méthodeest sujette à plusieurs difficultés à cause de’i pénombredont nous parlerons plus loin.
6. Si MN (Pl. 49 , fig. 4) est un plan vertical, l’om-bre AC projetée sur ce plan par un corps AB seraY ombre renversée de ce corps. En menant les lignes
droites qui sont tracées dans la figure , on voit que l’ex-trémité C de l’ombre est déterminée par le rayon lumi-neux BC qui rase l’extrémité B du corps, et que l’on aangle ACB — complément de Vangle BCD = complé-ment de h. Or dans le triangle rectangle ABC ontrouve
AC : AB : : sin ABC : ACB: : sin h : cos h.
Ainsi l’ombre renversée suit pour sa longueur des loisinverses de celle de l’ombre droite.
On se servait jadis de l’ombre renversée pour mesurerles hauteurs lorsque l’ombre droite était trop longue.
7. Si le corps lumineux n’était qu’un point, et querien dans l’espace ne réfléchît la lumière, l’ombre por-tée par un corps opaque sur une surface placée der-rière serait parfaitement noire, puisqu’aucun rayon nepourrait y arriver ni directement ni indirectement.Cette ombre serait donc d’un noir absolu , parfaitementégale dans toute son étendue, et se terminerait brusque-ment à son contour qui serait une ligne parfaitementnette et prononcée. Mais il ne peut en être jamais ainsi,car tout corps lumineux a des dimensions finies, et lecontour de l’ombre, loin d’être tranché brusquement,présente une dégradation insensible entre le noir et laclarté.
Pour rendre raison de ce phénomène, considéronsun corps sphérique AB (Pl. 49 , fig. 6), éclairé par unpoint lumineux, que nous supposerons placé à une dis-tance infinie de ce corps, afin que nous puissions sup-poser les rayons parallèles ; les rayons MA et MB quirasent la surface du corps déterminent la limite del’ombre qui, étant projetée sur une surface EF, aurason contour parfaitement net et tranché. Mais tout au-tre point lumineux du même foyer enverra égalementdes rayons parallèles NA et NB (fiig. 7 ) qui seront leslimites d’une autre ombre ABN'N’, dont une partieAN'M' recevra les rayons parallèles du premier pointlumineux , tandis que la partie BN'M' de la premièreombre recevra à son tour les rayons parallèles du se-cond point lumineux. L’ombre totale ABM'N'sera donccomposée d’une partie entièrement noire ABM'N' etd’une autre partie , qui enveloppe celle ci, dont l’obs-curité ira en décroissant depuis AM' et BN' jusqu’à ANet BM'. Celte ombre totale projetée sur un plan EF 1n’aura donc pas son contour terminé d’une maniéréfranche.
C’est cette ombre incomplète qui accompagne et en-toure toutes les ombres que l’ou nomme pénombre, tequi signifie presque ombre.
8. Pour trouver l’ombre d’un corps, il faut donc ima-giner que chaque point du foyer lumineux est le sommetd’une espèce de pyramide ou de cône de rayons q ul