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surtout d’Apollonius, d'Archimède, d’Euclide et deThéodose , par une multitude de lemmes et de propo-sitions, dont ils supposaient la connaissance; on trouvedans cet ouvrage la plupart des tentatives des ancienssur les problèmes les plus célèbres, tels que la duplica-tion du cube, et la trisection et la multisection del’angle. Comme nous l’avons déjà dit, Pappus ne seborna pas à réunir ces matériaux précieux pour l’his-toire de la science , il est souvent original et piofonddans les recherches qui lui sont propres. Telle est,entre autres, l’idée claire et précise qu’il expose de l’u-sage du centre de gravité pour la dimension des figu-res, idée que Guldin a présentée comme une décou-verte qui lui appartenait, et dont Pappus a évidem-ment fourni les premières notions.
Ses Collections mathématiques , que les géomètresmodernes consultent encore avec intérêt, sont dues auxtravaux de Commandin , qui a traduit cet ouvrage au-quel il a ajouté beaucoup de notes. Il ne parut qu’aprèsla mort de ce mathématicien, grâce à la protectiongénéreuse de François Marie, duc d’Urbin , sous cetitre : Pappi Alexandrini Collecliones mathematicœ àFederico Commandino m la'.inum versce et commenta-riis illustralœ, Pisauri i588, in-P. Il y a eu en 158g àVenise une seconde édition de cet ouvrage, et une autredonnée en 1660, par Manolessi. Ilallevqui, dans l’é-dition du livre de Seclione rationis d’Apollonius, qu’ila publiée, a également donné le texte grec delà pré-face du septième livre de Pappus , déclare que l’cditionde Commandin est préférable à toutes les autres.
PARABOLE. ( Vcom .) Une des sections coniques.Elle est engendrée par un plan qui coupe un cône droitparallèlement à un de scs côtés. Telle est la courbeKGAIL (PI. 4&j fig- 3.) formée par l’iutersection de lasurface du cône droit COD et du plau parallèle au côtéOC. En supposant le cône prolongé à l'infini, commele plan ne peut jamais rencontrer le côté, on voit quela parabole a deux branches indéfinies.
1. Pour trouver l’équation de cette courbe dans leplan générateur, prenons pour axe des x la droiteAB, intersection de ce plan et du plan principal COD;et par un point quelconque lï, de l’axe, concevons unplan parallèle à la base du cône; sa section EGFI seraun cercle (voy Cône). Supposons de plus le plan géné-rateur perpendiculaire au plan principal, afin que lesintersections EF et BI soient perpendiculaires l’unesur l’autre , et menons dans le plan principal AM pa-rallèle à EF.
Désignons AH par x, GH pavy, OE par a et AM =5EH par b. Ceci posé, les triangles semblables MOA ,AHF, donnent
d’où
AM : MO : : FH : AHb: a 1 : FH : JP
FH = -xa
Mais en considérant FH dans le cercle EGFI, nomavons (Cercle 18)
ce qui donne
FH : GIi : : GH : EHFH : y : : y : b
FR=Ç.
b
Ainsi égalant les deux valeurs de Fil, nous obtiendrons
et
y
b
y
b
— X
a
x.
Telle est l’équation de la parabole.
x. Les quantités a et b étant constantes, désignons
.b*
par p leur troisième proportionnelle, ou faisonsp== — il’équation précédente deviendra (a)
V 1 .= px
forme ordinaire de l’équation de la parabole.
3. Considérons maintenant celte courbe comme tra-cée sur un plan et cherchons ses principales propriétés.
En examinant son équation , on voit d’abord que pourchaque valeur dex on a deux valeurs dey égales et designes contraires,
y = +VP X , et y == —- \/px ,
ce qui nous apprend que les deux branches de la courbesont exactement semblables ou symétriques.
On voit aussi facilement qu’en faisant x = ^ p , on a
r-Vï-l
C’est-à-dire que l’ordonnée qui passe parle pointoù
x = ~ p, e st égale à la moitié du facteur constant p î
ainsi la double ordonnée est égale à p.
Cette droite constante p qui entre dans l’équation dela courbe, se nomme le paramètre et le point de Taxe
où x — \ p, prend le nom de foyer.
4 ,
4. Le foyer delà parabole jouit de propriétés analo-