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devient un nombre entier, savoir 5 m "si nif*n et V > ~ m fsi n ^ m , on a doue dms le premier eus
N. io mi m . 5"
N.5 m— ", d’où
N
2 OT . 5”
y. 5 '"—
i o m ’
et dans le second
N. io"’x m . 5"
N.a"— m , d’où
N
a™. 5"
N. 2 "~ mïô” ’
d’où il suit que la fraction décimale a toujours un nom-bre fini de chiffres.
Lorsqu’au contraire, le dénominateur renferme d’au-tres nombres premiers que 2 et 5 , on peut lui donnerla forme
p.i m .5»,
p étant un nombre premier , ou plus généralement pétant le produit de tous les nombres premiers autres quea et 5 qui entrent daus ce dénominateur ; et il devientévident que N. io.'* ne peut jamais devenir exactementdivisible par p.i m . 5" quel que soit p puisque N n’estpoint divisible par p. Cependant, quoique la divisionde N. io/* par p.i m .5 n , ou celle de N par M , puissealors se prolonger à l’infini en donnant à p. des va-leurs de plus en plus grandes ou , ce qui est la mêmechose, en ajoutant des zéros à chaque reste, successif,ces restes successifs ne peuvent admettre que. N— i ,valeurs différentes , car ils ne peuvent être que i , 2 ,3,4 etc.N—i. Ainsi, dans le cours de N divi-
sions, on retombera nécessairement sur un des restesdéjà trouvé, et en partant de ce reste , on reproduirales mêmes décimales au quotient, jusqu’à ce qu’on re-trouve une seconde fois le même reste, et ainsi desuitcà l’infini. La fraction décimale formée parune telledivision indéfinie sera donc une fraction périodique.
On nomme fractions périodiques simples ou compo-sées , celles dont la période commence immédiatementaprès la virgule ou au premier chiffre décimal. Lesfractions périodiques simples sont celles dont la périoden’a qu’un seul chiffre, comme
O» 4444444444.etc.
o, 77:7777777. etc -
Les fractions périodiques composées sont celles dont lapériode a plusieurs chiffres, comme
o, 3 7 37 3 7 3 7 37 3 7 .etc.
o, 7 <j 54 7954 79 5 4. etc>
On nomme fractions périodiques mixtes , les fractionspériodiques dans lesquelles la période ne commence ໫ manifester qu’après plusieurs chiffres décimaux ,comme
Parmi toutes les questions qu’on peut se proposer surles fractions périodiques , la plus importante est cellede retrouver les fractions ordinaires qui leur donnentnaissance. Cette question fait connaître une propriététrès-remarquable du nombre 9 et des nombres composésde ce chiffre tels que 99 , 999 , 9999 , etc. C’est qu’endivisant une quantité quelconque par un quelconquede ces nombres, plus grand qu’elle, on produit unefraction périodique, dont la période a toujours le mê-me nombre de chiffres que le diviseur. De plus, cettepériode est formée de la quantité divisée elle-même ,précédée s’il est nécessaire, d’un nombre suffisant dezéros pour la compléter. Par exemple :
- = 0 , 5555555555.etc.
9
5
99
= 0 , o5 o5 o5 o5 o5.
.etc.
5
999
— 0 , oo5 oo5 oo5 oo5....
rtc.
etc.
7j»
99
= 0 , 75 75 75 75 75 75 ..,
JL 5
999
= 0 , 075 075 070 075 075
.... etc.
etc.
etc.
En examinant les nombres formés du chiffre g, onreconnaît que
9 = 10 — 1gg = 10’ — 1999 = 10 3 — 1
etc. = etc.
d’ou l’on voit que, la forme générale de ccs nombres estio“— 1 . Ainsi on peut démontrer la propriété de ce*nombres, en observant que N étant un nombre quelcon-que, et 10 /*— 1 un nombre plus grand , on a
c’est-à direN
io<“—1
N
10 /*— 1
N_
10/r
N. ( 10 /'— 1)—' 1
y
10 */*
N Nto 3 /* + îoV CtC '
car, il résulte de cette décomposition une suite infini®»
. . . y
composée par la répétition d une même période ’ff'
laquelle, écrite sans dénominateur, comme c’est l’usag®pour les fractions décimales, est simplement N, ou «H »ou 00 N , selon que N est composé de p , ou de p — 1 ’ou de p — 2 , chiffres, etc.
o, 5678 75 75 75 75
etc.