•23
P K
PE
D’après cette génération des fractions périodiques,pour les ramener aux fractions ordinaires , il suffit deprendre la période pour numérateur, et de lui donnerpour dénominateur un nombre composé d’autant dechiffres 9 qu’il y a déchiffrés dans la période. C’est decette manière qu’on trouve que la fraction périodique
o, 714285 714285 714285... .etc.
est égale à la fraction ordinaire
714285
999999
qui se réduit à
7
Ce qui précède est suffisant pour transformer toutefraction périodique mixte en fraction ordinaire, car enexaminant d’abord le cas le plus simple, celui où leschiffres qui précèdent la période sont tous des zéros, eten prenant pour exemple
o, 000 52 52 52 52 52 ... .etc.
il est évident qu’en avançant suffisamment la virgule ,011 ramène cette fraction à une fraction composée
o, 52 52 52 52 52 52 52 ... .etc.
35 X 9 9 ,
9900 "r"
99° 0
35 X 99 + _ 3488
9900 99°°
La règle générale est donc de multiplier les chiffresqui précèdent la période par un nombre composé d’au-tant de 9 que la période a de chiffres, d’ajouter en-suite la période au produit et de donner à la somme,pour dénominateur, le nombre par lequel on a multi-plié , précédé d’autant de zéros qu’il y a de chiffresavant la première période.
En appliquant cette règle à la fraction périodiquemixte
o, o3o 5o 5o 5o 5o 5o 5o 5o.... etc.
nous la trouverons égale à
o3o X 99 + 5o 3020 i5i
99000 99000 445 o
Wallis paraît être le premier qui se soit occupé desfractions périodiques, devenues ensuite l’objet des re-cherches de Euler , Lambert et Robertson. Il existe surtoutes ces recherches un mémoire très-curieux de JeanBernouilli, inséré dans le tome II des Nouveaux mé-moires de VAcadémie des sciences de Berlin .
qui est égale à — ; mais en avançant ici la virgule
de quatre rangs on a rendu la proposée dix mille fois
plus grande, il faut donc rendre —, dix mille fois plus
petit, ce qui s’exécute en plaçant 4 zéros à la droite de52
oq, et l’on a-pour la fraction ordinaire de-
* 990000
mandée. Ainsi dans ce cas simple, la période forme en-core le numérateur de la fraction ordinaire , et le déno-minateur est composé d’autant de 9 qu’il y a de chif-fres dans la période, précédés d’autant de zéros qu’ils’en trouve avant la première période.
Toute fraction périodique mixte se ramène au casprécédent en la décomposant en deux autres fractions.Par exemple s’il s’agissait de
o, 35 23 23 a3 23 .... etc.
on pourrait la considérer comme la somme des deuxfractions
o, 35
o, 00 23 23 23 23 .... etc.dont la dernière réduite en fraction ordinaire est23
99 00
proposée est donc égale à
35 23
--
100 9900
en réduisant au même dénominateur,
PÉRIPHÉRIE (Géom.) Contour d’une figure curvi-ligne. C’est la ligne courbe qui la termine. La périphéried’un cercle prend le nom particulier de circonférence.
PERMUTATION. ( Alg .) Transposition que l’onfait dans les parties d’un même tout pour obtenir lesdivers arrangemens dont elles sont susceptibles. Parexemple, un groupe de lettres tel que abcd, étantdonné, en faisant varier les positions primitives de ceslettres comme il suit
abdc , adbc , bacd, cabd, etc.
ces nouveaux groupes seront les permutations du pre-mier.
La théorie des permutations trouvant de nombreu-ses applications dans la science des nombres, nousallons exposer ses principes généraux.
Une seule lettre a ne peut avoir qu’un seul arrange-ment, mais deux lettres a et b admettent deux arran-gemens différais ou deux permutations , puisqu’onpeut placer a avant ou après b , ce qui donne
ab , ha
Pour trouver tous les groupes de permutations donttrois lettres a , b, c sont susceptibles, on place successi-vement devant chacune d’elles les permutations desdeux autres , ainsi qu il suit
a {bc, cb }b j ac, ca\c j ab , ba j
“'qui donne,