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et en réunissant ensuite chaque lettre aux groupes cor-respondans, on a les six permutations

abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Le nombre des permutations de 3 lettres est doncégal à 3 fois celui des permutations de 2 lettres, ou égalà 3 X

Les groupes des permutations des quatre lettres a,b, c, d se forment de la même manière en plaçantdevant chacune de ces lettres les permutations des troisautres de la manière suivante

et { bcd t bdc, cbd, cdb , dbc, deb Jb { acd, ade, cad, eda, dac, dca }c \abd, adb,lad, bda,dab, dba\d { abc, acb , bac , bca , cab , cba J

te qui donne, en réunissant chaque lettre aux groupescorrespondans, les 24 permutations

abcd, abdc, aebd, aedb , adbc, adebbacd, bade, bcad, beda , bdac, bdcacabd, cadb, cbad, cbda, edab, cdbadabc, dacb, dbac, dbea, dcab, deba

Le nombre des péffhutâtions de 4 lettres est donc égalà 4 fois celui de 3 lettres ou à 4 X 3 X *•

Comme , en général, pour former tous les groupesdes permutations de m lettres, il faut placer devantchacune d’elles les permutations des tu —1 autres, il de-vient évident que le nombre des permutations de nilettres est égal à m fois celui des permutations de m —1lettres. Ainsi désignant généralement par Pm le nombredes permutations de m lettres, nous avons

Pm — m. Pm—1

P rn —I = [pi —1) Pm—JPm-i= [ni —2) Pm—3etc., = etc.

Pm —n = [m — Tl) P m —n—i

et, en substituant chacune de ces valeurs dans celle quile précède

P„ = ni (ni— 1) (ni— 2).. .(m—n) P m _„-,

OU (a)

P m = m (ni — 1 ) (ni —2)-3.2.1

en faisant

n = ni —x , d’où Pm—»-i = Pm—m+x = Pi = x

Si l’on demandait par exemple le nombre des per-mutations de 8 letties, on ferait ni = 8, et la formule(a) donnerait

P«= 8.7.6.5.4.3.2.1 = 4°3ao

PE

Ce qui précède suppose que toutes les lettres sontdifféientes, car si 1 une d’elles devait être répétée plu-sieuis fois, le nombre des permutations diminuerait,car un groupe aa n ayant point de permutation , troislettres a, a, b qui en admettraient sia: si elles étaientdifférentes, n’en ont plus que trois aab , aba, baa.

Il faut considérer en général que si sur m lettres,une se trouve n fois, les changemens de place de ces nlettres entre elles n’apportent aucun changement dansles groupes où elles se trouvent, tandis qu’en les sup-posant toutes différentes , chacun de ces groupes setrouverait fournir autant de permutations différentesque « lettres peuvent en admettre. Ainsi pour avoir lenombre total des permutations de m lettres dont n soitla même, il faut diviser le nombre total des permuta-tions de ni lettres par celui île n lettres ; on a donc pource nombre l’expression

ni (ni —1) (ni —2).3.2.x

n (n —1).. .3.2.1

ou simplement

»mii

1 n l •*

en nous servant de la notation des factorielles. (Voy.ce mot.)

Si les ni—n autres lettres étaient les mêmes , il fau-drait encore diviser l’expression ci-dessus par le nom-bre des permutations de m—n lettres, car tous lesgroupes qui différaient entre eux par les arrangemensde ces m — n lettres deviennent identiques et se rédui-sent à un seul. Donc

imn

j m— h| 1 1 | m| 1

est l’expression générale du nombre des permutationsd’un assemblage composé de deux lettres dont l’unese trouve répétée «fois et l’autre m — n fois. C’est surcette expression qu’est fondée la démonstration quenous avons donnée du Binôme de Newton (voy cemot).

On peut aisément conclure que le nombre des per-mutations d’un assemblage de m lettres, dont une pre-mière entre m fois dans l’assemblage, une seconde ofois, une troisième p fois, une quatrième q fois etc.,est égal à

i»*|i

i n l I . i°l>7îÂ’l‘. ivUetc.

m étant n -}- 0 -j- p -J- <7-]- etc.

L’accroissement très-rapide du nombre oe c permuta-tions, lorsque celui des objets augmente, a donné naissance à un problème curieux de probabilités; ou s’estdemandé si depuis que l’on joue au jeu de cart