forme la partie principale de la philosophie de cessciences; elle a pour but les lois de l’objet même desmathématiques, lois qui en sont les principes premiersou philosophiques. C’est à la métaphysique, aidée del’architectonique, qu’appartiennent toutes les détermi-nations ultérieures de l’objet des mathématiques et ladéduction de ses lois fondamentales.

5 0. Remarquons d’abord , comme nous l’avons déjàfait (Math.) , que les lois du temps et de l’espace peu-vent être considérées en elles-mêmes, ou bien dans lesphénomènes physiques auxquels elles s’appliquent ,c’est-à-dire, in concrelo ctinabstraclo. Dans le premiercis, elles font l’objet des Mathématiques appliquées, etdausle second, celui des Mathématiques pubes. Mais laconsidération concrète dépend nécessairement de laconsidération abstraite: nous n’avons donc à nous occu-per ici que des Mathématiques pures.

5 1. Pour obtenir les déterminations ultérieures del’objet général des mathématiques, il faut, d’après (26 et27 ) , appliquer à cet objet général les lois transcendan-tales du savoir , afin d’engendrer les schémas qui seulspeuvent servir de bases aux idées particulières que nouspouvons nous former de cet objet. Or, en appliquantau temps, considéré objectivement, la première deslois de l’entendement, la quantité , prise dans toute sagénéralité, il en résulte le schéma du nombre; et cettemême loi, appliquée à l’espace, considéré aussi objecti-vement, donne le schéma de I’étendue (voy. Math.).Les nombres et Vétendue sont donc deux déterminationsparticulières de l’objet général des mathématiques :elles donnent naissance aux deux branches fondamen-tales de ces sciences : I’Algorithmie ou la science desnombres , et la Géométrie ou la science de Y étendue.I.e temps étant la forme de tous les objets en général,et l’espace la forme des seuls objets extérieurs (1 5 ),toutes les considérations générales de la science desnombres peuvent s’appliquer à celle de l’étendue: ainsice que nous allons dire des subdivisions de la premièrede ces'sciences devra s’entendre également de la se-conde que nous allons abandonner ici pour plus de sim-plicité^ Voy. Géométrie. )

52 . L’algoritlimie présente d’abord deux branchesdistinctes, correspondant aux deux manières déconsidé-rer subjectivement une quantité mathématique : cesdeux branches sont la Théorie et la Technie. La pre-mière a pour objet la nature des quantités, c’est-à-dire,ce qui est , dans l’essence de ces quantités ; elle est fon-dée sur la spéculation, fonction du savoir où domineY intellect. La seconde a pour objet la mesure des quan-tités, c’est-à-dire, ce qud fautfaire pour arriver à l’é-valuation de ces quantités ; elle implique la conceptiond uue_/m ou d’un but, et se trouve fondée en dernierlieu sur la volonté , faculté de Yaclion. D’après leur

origine transcendantale, ces deux branches sont dis-tinctes et nécessaires.

53 . Ces deux branches de l’algorithmie se subdivisentelles-mêmes en deux parties distinctes. En effet : —« Les différentes fonctions intellectuelles dépendent delàdifférence contingente qui se trouve dans les facultésintellectuelles, mais, quelle qu’en soit la diversité, laco-existence de ces fonctions n’est possible que par uneidentité ou par une unité nécessaire des différentes fa-cultés dont elles dépendent. Cette unité nécessaire a sasource transcendantale dans le principe même du sa-voir, dans la conscience (9) qui sert de base à la possi-bilité des facultés intellectuelles , et qui les lie par la loide l’identité, en les considérant subjectivement , ou parcelle de l’unité en les considérant objectivement. —Ainsi, en appliquant les facultés intellectuelles à l’ob-jet général des mathématiques, il doit en résulter d’a-bord des fonctions intellectuelles mathématiques , dif-férant entre elles et dépendant des facultés intellectuellesdifférentes, et ensuite des fonctions intellectuelles ma-thématiques, formant la liaison des premières, et dé-pendant de l’unité transcendantale qui se trouve entreces facultés intellectuelles. ■— Le premier ordre de cesfonctions intellectuelles mathématiques constitue évi-demment les élémens de toutes les opérations mathé-matiques possibles; le second ordre de ces fonctionsconstitue la réunion systématique de ces élémens. » ( ln-trod. pag. 5 . )

C’est en appliquant ces considérations philosophiquesaux deux branches de l’algorithmie, la théorie et latechnie, qu’on trouve que ces deux branches ont né-cessairement chacune deux parties distinctes : l’unequi a pour objet les élémens nécessaires des opérationsmathématiques, qui appartiennent à ces branches res-pectives; l’autre, qui a pour objet la réunion systéma-tique de ces opérations élémentaires.

Examinons d’abord la première partie de la théoriede l’algorithmic ou la théorie algorithmique élémen-taire.

54. Le but de cette partie de la science des nombresest, d’après ce qui précède, la détermination de la na-ture de tous les algorithmes élémentaires possibles, eules considérant chacun séparément ou d’une manièreindépendante des autres. Or, deux algorithmes élé-mentaires, primitifs et essentiellement opposes , savoir,la sommation et la graduation, dont les formes respcc-’tives sont

A + B = C, A =C

se présentent dans cette partie élémentaire. Ils ont cha-cun deux branches particulières, l’une progressive,l’autre régressive , savoir : Yaddition et la soustractionpour le premier, et les puissances et les racines pourle second.