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«Ces deux algorithmes primitifs sont, pour ainsidire , les deux pôles intellectuels du savoir humain ,dans son application aux quantités algorithmiques. —Dans la sommation , les parties de la quantité sont dis-continues et extensîves ; elles ont proprement le carac-tère de l’agrégation {per juxta positionem ). Dans lagraduation, les parties de la quantité sont au contrairecontinues, ou du moins considérées comme telles, etsont en quelque sorte intensives; elles ont, de cettemanière, l’aspect du caractère delà croissance {perintussusceptionem). — Ces deux fonctions algorithmiques denotre savoir, qui ont chacune leurs lois particulières,sont entièrement hétérogènes, et il est impossible deles déduire l’une de l’autre. — Voici leur déductionmétaphysique, ou du moins leur piincipe transcen-dantal : la première, la fonction intellectuelle de lasommation , est foudée sur les lois constitutives de l’en-tendement (35); la seconde, la fonction intellectuellede la graduation , est fondée sur les lois régulatives dela raison. »

« La neutralisation de ces deux fonctions intellec-tuelles et, par conséquent, des deux algorithmes élé-mentaires qui leur répondent, produit une fonctionintermédiaire à laquelle correspond un algorithmeégalement intermédiaire, tenant de la sommation et dela graduation : nous nommerons cet algorithme hepko-duction. — Ses deux branches , progressive et régres-sive, sont la multiplication et la division. — Ce troi-sième algorithme élémentaire qui, considéré sous lepoint de vue métaphysique, se rapporte essentielle-ment à la faculté du jugement (5 et 36), doit encore,a cause de son origine, être considéré comme algo-rithme primitif. »

« Ainsi, la théorie algorithmique présente trois al-gorithmes élémentaires et primitifs. Leurs originesse rapportent aux trois facultés primitives de notreintellect ( 4 ), l’entendement, le jugement et la raison.Les lois de ces trois algorithmes, fondées sur les loisrespectives de ces trois facultés primordiales de notreintellect, sont, ainsi que la nature même de ces algo-rithmes, essentiellement différentes, et ne sauraient,dans toute leur généralité , être dérivées les unes desautres. — Il n’existe donc et il ne peut exister pourl’homuie d’autres fonctions algorithmiques que cellesqui sont ou immédiatement fondées sur ces trois algo-rithmes primitifs, ou dérivées de ces algorithmes. »(Introd ., page 7 .)

Avant de nous occuper des algoiitlimes dérivés,ludions un peu plus en détail les trois algorithmes pri-^tifs , fondement de toute la science.

55. Pour ce qui concerne, en premier lieu, l'algo-rithme primitif de la sommation, nous devons faireobserver que, d’après son origine, il constitue en quel-

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que sorte la matière de toute fonction algorithmiquepossible , car c’est Yentendement qui constitue les objetsde nos connaissances; l’application ou l’emploi des au-tres facultés intellectuelles ne peut influer que sur laforme des fonctions algorithmiques, dont les élémens(le contenu ou la matière) sont toujours donnés par ;l’algorithme primitif de la sommation. 5

Le schéma de cet algorithme, qui résulte de la con-ception générale de son objet (agrégation ou réunionde parties), est (a)

A + B = C

qui implique nécessairement le schéma réciproque (b)

C —B = A.

C’est sur ces deux schémas que se trouvent fondées res»pectivement Yaddition et la soustraction.

Or, ces deux schémas étant identiques dans leur ori-gine , il en résulte une considération importante surla fonction particulière de la quantité B , dans les deuxrelations réciproques ( a ) et (b). Cette fonction , consi-dérée en elle-même et abstraction faite des opérationsd’addition et de soustraction , se présente , dans la pre-mière de ses relations, avec le caractère d’une facultéd’augmentation, tandis que dans la seconde elle seprésente avec le caractère d’une faculté de diminu-tion.

Cette diversité de la fonction du nombre B dans lesdeux relations en question est un produit de l’applicationdelà seconde loi de l’entendement, celle de qualité, auxquantités algorithmiques, et c’est de cette applicationque résultent pour les quantités deux états différeusnommés état positif et état négatif. Ainsi , dans la pre-mière relation , Best une quantité positive, et, dans laseconde, B est une quantité négative. {T^oy. Algèbre, 2.)

L’état positif et négatif des nombres porte doncessentiellement sur leur qualité; tandis que les opéra-tions d’addition et de soustraction ne portent que surleur quantité. C’est parce que, jusqu’ici, on a con-fondu ces deux points de vue si distincts, qu’on esttombé dans tant de contradictions au sujet des nombresnégatifs.

56. L’algorithme de la reproduction consiste dans laneutralisation intellectuelle des deux algorithmes pri-mitifs et opposés , la sommation et la graduation. C’estle moyen de remonter du premier au dernier, fondesur la faculté du jugement , faculté intei mediaiie entrel’entendement et la raison , qui servent de fondemensrespectifs aux algorithmes opposés.

Le schéma de cet algorithme, qui résulte de sa con-ception générale , est

A-j-A-j-A-J-A-l-A,...Bfois=0