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les nombres À, B, C étant donnés entièrement parl’algorithme de la sommation; car, pour concevoircelte génération , pour en former la première concep-tion , il est nécessaire que les nombres A et B soientdonnés par le seul mode connu jusqu’ici de générationdes nombres : la sommation; et alors le nombre C,comme produit par une génération de sommation , estencore un nombre entier ou un nombre donné parl’algorithme de la sommation.

» Mais lorsque cette conception est formée , l’in-fluence régulative de la raison, qui se manifeste déjàdans l'algorithme de reproduction dont il est question ,introduit dans la génération des nombres A, B et C ,une détermination nouvelle et particulière , qui satisfaitd’une part, au caractère d’agrégation, à la disconti-nuité de génération algorithmique, dominant dans l’al-gorithme primitif de la sommation et, de l’autre part,au caractère de croissance, à la continuité de générationalgorithmique, dominant dans l’algorithme primitifde la graduation. Or c’est cette détermination particu-lière de la génération des nombres A, B et C, dans la-quelle se trouve la neutralisation des deux algorithmesprimitifs et opposés, qui forme la loi fondamentalede la théorie de la reproduction. — Le schéma de cetteloi est (c)

A X B = C

où l’on suppose que parmi les trois nombres A, B, C,deux quelconques de ces nombres peuvent être donnéspar l’algorithme de la sommation, ou bien, ce qui re-vient au même , que A, ou B, étant donné ainsi, lenombre C peut représenter tous les nombres formantla suite produite par la génération de sommation. »

( Inlrod , page 160 .)

Le schéma (c) implique le schéma réciproque (d)

et c’est sur ces deux schémas (c) et (cfj que se trouventfondées respectivement la multiplication et la divi-sion.

Les nombres C et B pouvant être des nombres quel-conques donnés par l’algorithme de la sommation, lagénération du nombre A, suivant le schéma récipro-que^/), reçoit dans certains cas un caractère particulier,une détermination plus intellectuelle, qui place cenombre hors de la suite des nombres entiers. Ce carac-tère particulier, dû à l’influence régulative de la raisonqui commence à se manifester dans l’algorithme de lareproduction, est ce qui distingue les nombres nommésnombres fractionnaires. {Voy. AlgÈbhe, 12.)

Quant à la fonction particulière du nombre B dansles deux relations réciproques (c) et (d), elle porte en-

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core sur la conception de la qualité et consiste dansl’état positif ou négatif de l’exposant de graduation dece nombre.

57 . Nous avons dit (54) que l’algorithme de la gra-duation est fondé sur les lois régulatives de la raison.Ce sont ces lois qui viennent apporter la dernièreunité intellectuelle dans nos connaissances (53) ; sansl’influence régulative de la raison, la science des nom-bres ne serait pas possible, car nous serions réduits auseul algorithme de la sommation dont l’objet et les luissont identiques. Or le schéma puremeut algorithmiquedelà graduation, est (e)

A B = C

dans lequel A, B , C peuvent être des nombres quel-conques. Mais d’après la conception générale de l'ob-jet de cet algorithme, conception qui repose sur l’idéede continuité indéfinie , et nous présente un nombrequelconque comme engendié par la multiplication suc-cessive et indéfinie d’un autre nombre par lui-même ,nous voyons que le schéma (e) est fondé sur le schémaphilosophique {f ),

1 1 V°

i + p.-) =/"•

En effet, cette forme, qui porte essentiellement surune génération indéfinie , et qui par conséquent impli-que l’idée de Y absolu , est évidemment la seule formepossible sous laquelle nous pouvons concevoir, au moyende l’algorithme élémentaireet primordial desommatiou,qui est un produit de l’entendement, la continuité indé-finie de la génération d’un nombre que demande laraison. C’est évidemment sur cette génération du nom-bre m que se fonde la possibilité algorithmique d’unexposant quelconque de ce nombre, entier, fraction-naire , positif, négatif ou zéro. ( Inlrod. pag. i63.)

Nous voyons ici se manifester d’uue manière évidentela nature delà raison , de cette faculté supérieure, donttoutes les conceptions ou idées pures sont douées d’uni-versalité absolue et qui tend sans cesse vers l’incondi-tionnel (3o). Son principe suprême introduit dans lascience des nombres les idées transcendantes de nom-bres infinis et infiniment petits, sans lesquelles il lui se-rait impossible d’apporter la dernière unité intellec-tuelle , non dans la génération des nombres eux-mêmes,mais dans la génération de la connaissance que nousavons de ces nombres. Comme la science serait impos-sible sans les lois régulatives de la raison , on peut jugerdu tact philosophique des géomètres qui ont voulu ban-nir Y infini des mathématiques.

Le schéma (e) donne le schéma réciproque (g)

X

•C” = A