l’ü

PO

zu

d'où l’ou tire

OU

p£ Pz— sinP zK _ s.sin(a—jS—t»)sinPEz sina

£ z _ Pz.sinzPE _ z. sin(v-j-/3)

sinPEz- sia a

(i — cos’e) z 1 -}- P z cos w ^ p 1 = o.

En résolvant cette équation du second degré, on oh»tient ces deux valeurs dez

et, par suite, (i)

X = a +

z.sin (a—13 — v)

Siu a

i

S

I-j-COS^

ï —cosv

y = b +

z.sin(v-|-|3)

sina

Eu substituant ces valeurs de x et y dans l’équation/ (x,y) =r o, on obtiendra Yéquation polaire.

Si les axes sont rectangulaires, comme alors a = go°,les formules deviennent simplement ( 2 )

x — a -J- z.cos (v-f-jSj, y — b -}- z.sin (r-|-|S)

Elles se simplifient encore si l’on prend l’axe polaireParallèle à l’axe desx, car on a dans ce cas p = 0 , etelles deviennent (3) :

x = a -{-z. cosv, = ô z. sin r.

Enfin, si l’on prend pour pôle l’origine même des coor-données rectangulaires, ces formules se réduisent à (4)

La valeur positive se rapporte à l’uue des bran-ches et la valeur négative à l’autre , en considérantcomme positifs les rayons vecteurs situés d’un côté del’axe, et comme négatifs les rayons vecteurs situésdu côté opposé. Mais sans tenir compte delà situationdu rayon vecteur, la première valeur de z peut donnerà elle seule tous les points de la parabole, en faisant va-rier v depuis o jusqu’à 36o°.

Dans l’hyperbole, dont l’équation rapportée au centreest _

a'x* = b*x % — a?b ‘,

la distance du foyer au centre étant égale à y/a*,-}-b 1( voy. Hyperbole ) ; si nous désignons cette distancepar c, nous aurons d’après les expressions (3),

x = c — z cos v, y = z.sin v ,

x = z.cose ,y = z.sin v ,

puisque a et b disparaissent.

Pour montrer l’application de ces formules, piopo-sons de trouver les équations polaires des sections co-niques , rapportées à leurs foyers comme pôles.

Le foyer de la parabole étant situé sur l’axe , à unedistance du sommet égale au quart du paramètre, nousavons pour cette courbe, p désignant le paramètre

a

o

et, par conséquent, d’après (3)

x

t

-j- z cos v , y = z. sin v.

Mais l’angle v doit être compté à partir de l’origine j ile st donc réellement le supplément de celui qui entre^ans ces formules, et l’on doit y changer cos v en — cos v.Opérant ce changement et substituant les expressionsPrécédentes dans l’équation de la parabole ( Voy. cemot)

°n trouve

y' — px

z'.sinV =

4 "'

— p. z.cos V

en donnant à cos v le signe — , pour la même raisonque ci-dessus. Ces expressions substituées dans l’équa-tion de la courbe, donnent après toutes les réductions

c 1 — a 2 c 1 — a *

a + b. cos v ’ a — c. cos v

La discussion de ces valeurs montre qu’elles se rap-portent aux quatre branches de l’hvperbole. Nous avonsdonné au mot Ellipse, l'équation polaire de l’ellipse ,eu la déduisant déconsidérations directes.

POLE. On donne ce nom, en astronomie, aux deuxextrémités de l’axe sur lequel la sphère céleste paraîttourner ; et, en géographie , aux deux extrémités del’axe de rotation de la terre. En général, les pôlesd’un grand cercle d’une sphère sont les deux poiuts dela surface de la sphère également éloignés de tous lespoints du cercle. Ainsi :

Les pôles du monde ou les pôles de l equaleur sontéloignés de l’équateur de go”. E unsc nomme pôle arcti-que f septentrional, boréal ou pôle-nord ; c’est celui quiest élevé au-dessus de notre horizon. L’autre se nommepôle antarctique, méridional austral, ou pôle-sud. Lespôles de la terre portent respectivement les mêmesnoms que les pôles célestes auxquels ils correspondent, j

Les pôles de l'écliptique sont éloignés des pôles de *