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que des parties de ces derniers; mais la somme desangles à la base des triangles est égale à autant de foisdeux angles droits qu’il y a de triangles, moins lasomme des angles aux sommets; ainsi, comme cette der-nière, composée de tous les angles autour du point O,est équivalente à quatre angles droits (voy. Angle), il enrésulteque la somme des angles d’un polygone quelcon-que est équivalente à autant de fois deux angles droits,moins quatre , que ce polygone a de côtés. Si nous dé-signons donc par m le nombre des côtés d’un poly-gone quelconque , la somme de ses angles sera expri-mée par (a)

m. i8o° — 36o», ou par (nt — 2) 180°.

2. On nomme angle extérieur d’un polygone, l’an-fjle formé entre un côté quelconque et le prolongementdu côté adjacent, tel est l’angle EDF (PI. 53, fig. i5).En prolongeant tous les côtés d’un polygone, onforme autant d’angles extérieurs qu’il y a de côtés , etla somme de tous ces angles, quel que soit le polygone,est toujours équivalente à quatre angles dro : ts. En effet,chaque angle extérieur EDF , ajouté à l’angle intérieur< pû lui correspond CDE, fait une somme équivalente^ deux angles droits; ainsi la somme de tous les an-Eles , tant extérieurs qu’intérieurs, vaut autant de foisdeux angles droits qu’il y a de côtés ; mais la sommedes angles intérieurs équivaut à autant de fois deuxa ngles droits , moins quatre, qu’il y a de côtés, doncla somme des angles extérieurs équivaut à quatre anglesdroits.

3. On nomme polygones réguliers ceux dont tous lesaugles et tous les côtés sont respectivement égaux. Onobtient la valeur d’un angle de ces polygones en divi-sant la somme des angles (m —2). 180° par le nombre

des angles. C’est de cette manière qu’on trouve quel’angle de l’hexagone régulier est égal à

(6—2) 180 0 4

6 6 "

180 0 = 120°

4- Les polygones réguliers peuvent être inscrits ou

circonscrits au cercle. Cette propriété que nous avons

démontrée au mot Cercle , t 3 et 1 5, est fertile en con-

se quences importantes que l’on peut résumer comme ilsuit.

l’ott partage eu deux parties égales tous les an-8 es d un polygone régulier, les droites qui feront ces'Visions, concourront toutes à un même point au milieuU P Ql ygone ; ce point est le centre du cercle inscrit ouCrconscrit. De cette manière le polygone sera divisé eutriangles isoscèles égaux entre eux et dont le nombreSera ^8 a l à celui de ses côtés.

6. Si aux points de milieu de tous les côtés d’un po-"gone régulier, on élève des perpendiculaires, ces

perpendiculaires concourront encore au centre ducercle qu’on peut inscrire ou circonscrire au poly-gone.

7. Si l’on divise la circonférence d’un cercle en unnombre quelconque de parties égales et qu’on tire descordes d’un point de division à l’autre, on formera unpolygone régulier inscrit au cercle.

8. De même si l’on divise la circonférence d’uncercle en un nombre quelconque de parties égales, etqu’à chaque point de division on mène une tangente àce cercle, ces tangentes, en se coupant deux à deux,formeront un polygone régulier circonscrit au cercle.

9. Tous les polygones réguliers d’un même nombrede côtés sont semblables entre eux.

10. La perpendiculaire abaissée du centre sur lescôtés d’un polygone régulier, se nomme Y apothème-,c’est le rayon du cercle inscrit dans le polygone, oudu cercle auquel le polygone est circonscrit. L’apo-thème est la hauteur commune de tous les trianglesisoscèles dans lesquels on peut partager le polygone enmenant des droites du dentre à tous les sommets.

Tout polygone régulier étant composé d’autant detriangles isoscèles égaux qu’il a de côtés, et la surfacede ces triangles étant représentée par la moitié du pro-duit de sa base, ou du côté du polygone par l’apo-thème, la surface totale de tous les triangles, c’est-à-dire la surface d’un polygone régulier quelconque estégale à la moitié du produit de son périmètre par sonapothème.

11. Les périmètres de deux polygones régulier d’unmême nombre de côtés sont entre eux dans le rapportdes ravons de leurs cercles inscrits ou de leurs cerclescirconscrits.

12. Les surfaces de deux polygones réguliers d’unmême nombre de côtés sont entre elles comme les car-rés des rayons des cercles inscrits ou circonscrits.

13. La valeur du côté d’un polygone inscrit étantdonnée, on peut trouver facilement celle du côté dupolygone circonscrit d’un même nombre de côtés,comme aussi la valeur des côtés des polygones inscritet circonscrit d’un nombre de côtés double, à l’aide desexpressions

a

2 .=

3 .c =

dans lesquelles c est le côté du polygone donné , a l’a-pothème. de ce polygone, rie rayon du cercle, e' lecôté du polygone inscrit d’un nombre de côtés double ,C celui du polygone circonscrit d’un même nombre decôtés, et C' le côté du polygone circonscrit d’un nom-bre de côtés double.