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probabilité contraire d’un événement est toujours égale

h l’unité.

Il résulte de cette dernière proposition que l’une quel-conque des probabilités favorable ou contraire étantdonnée, en la retranchant de l’unité, on obtient l’autre.

8. S’il est quelquefois assez difficile de pouvoir ap-précier la probabilité simple d’un événement, il l’estencore bien davantage de pouvoir apprécier la pro-babilité composée, et c’est là surtout où il est im-portant de considérer la question sous toutes les faces,tar la moindre erreur dans l’évaluation de la possi-bilité de chaque résultat particulier en entraîne néces-sairement une dans le résultat final. C’est ainsi que d’A-lembert prétendait que la probabilité d’amener aumoins une fois croix en deux coups, que nous avons

3 2

trouvée (3) être , n’était que „. Voici sur quel rai-

4 -3

I jl • * *

2,1...

3,t...

4,i...

5,1...

6,1

1)2 • • #

2,2...

3,2...

4,2...

5,2. ..

6,2

1,3...

2,3...

3,3...

4,3...

5,3...

6,3

1,4. •.

2,4...

3,4-•«

4,4 - • •

5,4...

P,4

1,5...

2,5...

3,5...

4,5...

5,5...

6,5

1,6...

2,6...

3,6...

4,6...

5,6...

6,6

et comme dans ces 36 cas, tous également probables, ily en a 11 qui contiennent le point de 6, la probabilité

est donc

oo

Pour calculer cette probabilité sans être obligé de

former le tableau précédent , il faut remarquer que la

probabilité simple d’amener le point de six en un seul

i . 5 . . .

jet étant ^ la probabilité contraire est ainsi, si 1 on

sounement il fondait son calcul : Si l’on amène croixdu premier coup, le jeu est fini, et si l’on amène au con-traire pile , il faut jouer le second coup qui amèneracroix ou pile ; ainsi il ne peut arriver que l’un de cestrois événemens

s’était proposé le problème inverse de trouver la pro-babilité de ne pas amener le point de six en deux jetssuccessifs, on aurait cette probabilité en formant (4) le

5 5 25

produit des deux probabilités simples g X g — gg-

1.. .. Croix.

2.. .. Pile et croix.

3.. .. Pile et Pile.

Donc ~ étant la probabilité de ne pas amener le point36

de six en deux jets successifs, celle de l’amener (7) seradonc

Et comme il y en a deux qui font gagner le pari, la pro-babilité est donc ?. L’erreur consiste à supposer la mê-3

me possibilité à ces trois événemens, et cet argumentvictorieux par lequel d’Àlembert croyait renverser defond en comble le calcul des probabilités ne prouveque sa précipitation et sa légèreté habituelles. En effet,avant de commencer le jeu , la probabilité d’amener

croix au premier coup est

1

2

et celle d’amener pile d’a-

bord et croix ensuite est ^ (31; ainsi, la probabilité d'amener au moins une fois croix en deux coups est don.

comme nous l’avons déjà trouvé.

9. Si l’on demandait quelle est la probabilité d’amenerau moins une fois le point de six en jetant deux foissuccessivement un dé ordinaire, il faudrait pareille-ment considérer tous les cas possibles qui peuvent ré-silier de ces deux jets, et la somme des cas dans les-quels se trouve le point de six divisée par la sommetotale des cas serait la probabilité demandée. Or, lesdeux jets successifs peuvent amener indifféremment unedes treute-sixcombinaisons suivantes des points du dé:

25 _ n

1 — 36 "" 36'

10. Le tableau ci-dessus nous montre combien lenombre des chances augmente avec le nombre des coupsjoués, car en jetant le dé une seule fois il n’y a que sixcas possibles, tandis qu’eu le jetant deux fois de suite ils’en présente 6 fois 6 ou 36.

On peut voir de même facilement qu’en jetant le détrois fois de suite le nombre des cas possibles deviendra6 fois 36 ou 216, puisque chacun des 36 cas des deuxpremiers jets peut se combiner avec les six cas du troi-sième. Pareillement le nombre des cas de quatre jetssera 6 X 216 = 1296 ; celui des cas de cinq jets 6 X1296= 7776, etc. , et en général le nombre des caspossibles qui résulte de m jets successifs sera égal a nifois 6 multiplié par lui-même, ou à la »i* eine puissancede 6. Si l’on désigne par A le nombre total des chancestant favorables que contraires d’un événement, en uneseule épreuve, celui des chances en m épreuves succes-sives sera donc égal à A m . !

11. Si l’on demandait la probabilité d’amener aumoins une fois le point de six en trois , quatre et cinqjets successifs d’un même dé, on trouverait facilementen calculant ces probabilités, comme ci-dessus, par lemoyen des probabilités contraires :