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En 5 tirages on aura donc un peu plus que ^ de pro-babilités, et en 6 tirages un peu moins.

i5. Pour mettre dans tout son jour la manière dontle nombre des épreuves multiplie les chances , considé-rons lesarrangemens r.u les combinaisons dont plusieursobjets sont susceptibles entre eux. Trois objets, parexemple, A, B, C peuvent donner les neuf arrange-raens suivons (- voy . Combinaison et Permutation) enies combinant 2 ài:

A,A B,A C,AA,B B,B C,BA,C B,C C,C

Or, si ces trois objets étaient trois boules placées dansune urne et qu’on en fît deux tirages successifs en re-mettant dans fui ne avant le second tirage la boule tiréeau premier, il est évident que les deux tirages amè-neraient un quelconque des neuf arrangemens ci-dessusCt que la probabilité particulière à chacun d’eux est ex-primée par la fraction -9

On voit également que si l’on demandait la probabi-lité d’amener deux boules différentes A ct B dans lesdeux tirages , sans avoir égard à l’ordre des sorties,.1 l a

cette probabilité serait - + - = - puisqu’il y a deux

combinaisons A,B et B, A qui satisfont à la question.

■De même , s’il s’agissait d’exprimer la probabilitéd’amener en deux tirages deux boules différentes sansles désigner, on voit que cette probabilité serait

i+: + i + i + i + i =9

9 ^ 9 9 9 9 9 9

puisqu’il y a six arrangemens AB , BA, BC, CB , AC,CA qui remplissent la condition demandée.

Enfin, tous les problèmes qu’on peut se proposer, soitsur la probabilité absolue de chaque chance , soit surla probabilité relative d’une chance par rapport à uneautre , se trouvent ainsi résolus par la simple inspec-tion de ces arrangemens.

15. S’il s’agissait de trois épreuves, il faudrait formertous les arrangemens 3 à 3 , et l’on aurait (b)

AAA BBB CCCA AB BBA CCAABA BAB CACAAC BBC CCBACA bcb CBCACB BCA CABABC BAC CBAABB B AA CAAACC BCC CBB

Pour 4 épreuves on formerai t les arrangement 4 etainsi de suite. Or, si l’on considère chaque arrangementprécédent comme exprimant un produit de trois lettres,leur somme n’est évidemment que le développementde la puissance du trinôme A + B + C , car ce déve-loppement (roy- Binôme ci Elévation) se compose detous les produits que l’on peut former en arrangeant3 à 3 les termes A, B et C ; et, en comparant ce déve-loppement

(A-f B+C ) 3 = A 3 + 3A’B + 3AB’ + B 3

+ 3A*C + (3ABC+ 3B’C+ 3AC* + 3BO+ C 3

avec le tableau (b), il devient visible que ses coeffi-ciens numériques nous donnent immédiatement le nom-bre des arrangemens particuliers de chaque combinaisonparticulière. Ainsi les termes A 3 , B 3 , C 3 ont l’unité pourcoefficient, parce que chacun des groupes AAA, BBB ,CCC n’admet point de permutation ; le terme 3A'B ,a 3 pour coefficient, parce que le groupe AAB admetles trois permutations AAB, ABA, BAA, permutationsqui expriment toutes le même produit, etc. L’inspec-tion des coefficiens du développement de la puissancepeut donc nous faire connaître la probabilité de chacundes arrangemens sans que nous ayons besoin de les for-mer, ce qui, dans beaucoup de cas, deviendrait impra-ticable. Ainsi, le nombre total des arrangemens étantici 27 , nombre égal à la somme des coefficiens numéri-ques

i+3 + 3+i+3 + 6 + 3 + 3 + 3 + i =» 7

Ja probabilité de chaque arrangement en particulier

est — ; celui d’un arrangement où entre 2 fois A et une2 7

3

fois B, sans avoir égard à l’ordre des sorties, est — ;

2 1

celui d’un arrangement où entre à la fois A, B, C,

sans avoir égard pareillement à l’ordre des sorties, est

6 . . .

et ainsi de suite.

27

16 . Il résulte de ces considérations que si nous dési-gnons en général par a le nombre des chances d’unévénement A et par b le nombre des chances d’un autreévénement B , dans une seule épreuve, (a + b) m sera lenombre total des chances dans un nombre m d’épreu-ves, et le développement de cette puissance offriratoutes les chauces qui se rapportent à chaque cas parti-culier. Ainsi, dans ce développement

(a + b}* ï= a™ -j- man-'b + l) a „-, b >

1.2

+ etc

mal™— 1 + b m