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le premier terme a m indique le nombre des chancesqui , sur un nombre m d’épreuves , donnent m fois desuite l’événement A; le second terme rna m ~'b, in-dique le nombre de chances qui donnent m —t foisle premier événement A et une fois le second B,sans tenir compte de l’ordre de leur apparition, et ainside suite.

En divisant donc chacun de ces termes par le nom-bre total des chances qui est {a b) m , on aura lesprobabilités de chacune des successions d’événemenssimples auxquelles ils se rapportent.

Il suffit presque toujours de considérer le terme gé-1 néral du développement, qui est (c)

m(m-i)(m- f*+Q ^

i . 2 .3.4*5. •

qu’une seule fois la face 6, mais encore ceux qui laprésentent a fois, 3 fois, 4 fois. Ces termes sont

afi -j- 4 a 3 b -j- 4ai 3

d’où, en évaluant,

i -j- 20 -f- 15o -f- 5oo =a 671

or, le nombre total des chances est (1 -j- 5) 4 = 6 4 :

1296 $ donc la probabilité demandée est

671j2q6 1

c’est-

a-dire un peu plus que -.

Dans tous les cas semblables il sera beaucoup plussimple de considérer la probabilité contraire , car dansle développement

pour résoudre les divers problèmes qu’on peut se pro-poser, et c’est ce que nous allons éclaircir par desexemples.

17. Problème I. Déterminer la probabilité d’amenereu 8 épreuves successives au jeu de croix ou pile , 5fois croix et conséquemment 3 fois pile.

Nous avons ici m = 8; faisant donc p = 3, le termegénéral (c) devient

(a -}- Z>) 4 = a 4 -j- 4« 3 6 -{- 6a’Z» 1 -)- 4 ab 3 -f- b*

qui renferme tous les cas possibles, on voit que leterme Z> 4 , qui ne contient pas a, exprime justement lenombre des chances contraires au cas que l’on consi-dère, et qu’ainsi

Z- 4

(a + bf

8.7.6.54

1.2.34.5

a 5 ,6 3 =56a 5 i 3

ainsi, comme nous avons d’ailleurs a = 1, b = 1, cenombre de chances est donc simplement égal à 56.Mais le nombre total des chances est

est la probabilité que ce cas n’arrivera pas j donc laprobabilité favorable (7) sera immédiatement donnéepar l’égalité

Z- 4

1 («+*) 4

(a -f- b) s = 2 8 = 256

c’est-à dire, ici par

donc la probabilité demandée est —^

Problème II. Déterminer la probabilité d’amener 8fois de suite croix en 8 épreuves.

Dans cet arrangement pile ne devant pas se montrer,nous ferons p = oj ainsi, ayant toujours m=8, leterme général (c) devient a 8 = 1 , à cause de a = 1 ,

et la probabilité demandée est —Il n'y a évidem-ment sur les 256 chances qu’une seule pour l’événe-ment en question.

Problème III. On demande la probabilité d’amenerau moins une fois le point de six en jetant 4 fois un déordinaire.

Le nombre des chances favorables au point de six àchaque tirage étant 1 , et le nombre des chances con-traires étant 5 , nous aurons a = 1, b == 5, et de plusm = 4- Mais ici il faut former tous les termes qui con-tiennent la chance a, car dans l’énoncé de la questionon considère non seulement les cas qui ne présentent

comme nous l’avons trouvé directement.

Si l’on avait demandé la probabilité d’amener uneseule fois le point de 6 en 4 jets , on n’aurait eu besoinque de considérer le terme du développement qui con-tient une seule fois la chance d’amener 6. Ainsi faisantdans (c), m — p = 1 , d’où p = m — 1 = 3 , on auraiteu

^ a 1 . Z> 3 = 4. i . 5 3 = 5oo

et, par conséquent la probabilité serait -°° .

1296

Problème IV. Déterminer la probabilité d’amenerdeux fois le point de six, en jetant 5 fois un dé ordi-naire.

Comme nous n’avons à considérer dans ce cas, queles seules combinaisons qui contiennent 2 fois le point