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de six , nous ferons dans le terme général (c) a =s i ,b = 5 , m = 5 et p, = 3 , et il deviendra

—- (i) , .( 5 ) 3 = ia 5 o.

I .2 w

La probabilité demandée est donc puisque le

nombre total des chances est (i-)- 5 ) 5 = 7776.

16. S’il s’agissait des probabilités relatives à plus dedeux événemens, on désignerait par a, b, c, d, etc.,le nombre des chances relatives à chacun des événe-mens, et par m le nombre des épreuves ; le terme gé-néral du développement de la puissance

(a + b -f- c -j- d -j- e -j- etc- ) m

répondrait également à toutes les questions.

Ce terme général est {voy, Elévation)

_ rn(m —1) ( m —2 ). 1_

(i .a.. n) (1.2. .pj( 1.2. .q){ i .2. .r)etc.

a n bpcid r . etc.

dans lequel on a

n + P + ? + r + s + etc • • • • =m.

17. En comparant entre elles les probabilités respecti-ves des divers événemens composés qui peuvent, arri-ver dans un nombre donné d’épreuves, on reconnaîtsans peine que le plus probable de ces événemens estcelui dans lequel les nombres des événemens simplessont entre eux dans les rapports de leurs chances primi-tives. En effet, d’après le tableau {b ), si les trois évé-nemens A , B , C ont chacun la même probabilité dansune seule épreuve , en trois épreuves ils pourront for-mer un quelconque des 27 événemens composés du ta-bleau, mais paimi ces 27 événemens composés

1 seulement se compose de trois fois A ,

1 .de trois fois B ,

1 .de trois fois C ,

3 se composent de deux fois A et une fois B.

3 . de deux fois A et une fois C.

3 . de deux fois B et une fois A.

3 . de deux fois B et une fois C.

3 . de deux fois C et une fois A.

^. de deux fois C et une fois B.

G de une fois A, une fois B, une fois C.

Ainsi l’evénement composé le plus probable, relative-ment a chacun des autres, est celui qui renferme A, B, C.

Poui mettie cette proposition importante dans toutson joui, considérons seulement deux événemens A etB dont les chances respectives sont « et b-, d’après (16),en un nombre m d épreuves, le nombre des chances del’événement composé qui renferme A, m — p fois etTout 11.

B, (a fois, est

I . 2.3.. .p ”

Or, en supposant que le nombre des chances favorablesà chaque événement simple A et B est le même, ou quea — b f la quantité précédente se réduit à

m(m —1) (m ——p-f-i)1.2. 3 .4....a

a m ~ P.aP

et comme le facteur a m —p a? = a m est le même danschaque terme, la grandeur des termes dépend particu-lièrement du coefficient

m[m -—1) (m —2)...,(m—p-{-i)

1.2.3.4....p 1

c’est-à-dire que l’événement composé qui a le plus dechances est celui dont le coefficient est le plus grand.

Mais si l’on examine la formation des coefficiens despuissances successives du binôme (a-J-è)

(a -j- b )* = a 1 -|- 2 ab -f- b 1(a -f b) 3 = a 3 + 3 a 2 b -f 3 ab 2 + b 3(a -j- i) 4 = a 4 -{- 4 a 3 b -j- fîa’i 1 -J- t^ab 3 -f- £ 4(a-\-b) 3 = a 3 -f- 5 aSb -f- 10 a 3 b 2 -\- ioa 2 ù 3 -j-5ai 4 -J-à 5etc. = etc.

On reconnaît que dans les puissances paires le terme dumilieu est celui qui a le plus grand coefficient, et quedans les puissances impaires les deux termes consécutifsdu milieu ont des coefficiens égaux et plus grands quetous les autres; ce sont donc les événemens composésqui répondent à ces coefficiens qui ont la plus grandeprobabilité relative. Ainsi, en prenant pour exemplele jeu de croix ou pile, jeu auquel on peut ramenertous ceux qui présentent deux événemens opposés àchances égales, les événemens composés les pins pro-bables seront, en 2 épreuves, une fois croix et unefois pile ; en 3 épreuves, 2 fois croix et une fois pile,ou 2 fois pile et une fois croix ; en 4 épreuves 2 foiscroix et 2 fois pile , etc. ; ce qui conduit à la proposi-tion du n° 17, du moins dans le cas où les événemenssimples ont le même nombre de chances.

18. Sien augmentant le nombre des épreuves, laprobabilité de l'événement composé qui renferme cha-que événement simple dans le rapport du nombre deschances est toujours , relativement, plus grande que laprobabilité de tout autre événement composé, il n’enest pas de même de sa probabilité absolue; cette der-nière diminue à mesure que le nombre des épreuvesaugmente et peut devenir aussi petite qu’on le vou-dra, en multipliant suffisamment les épreuves.

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