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3, Dans une progression arithmétique quelconque,croissante ou décroissante, que nous désignerons par

-f- a» > ai, a,, , «5, etc.... a m .

deux termes quelconques a n , a m -n pris à égales dis-tances des deux termes extrêmes a Q et a m , forment avecces extrêmes la proportion

Cln == &m — n*

En effet, on a

a n = cio + n$

a m -n=a a + (rn—njS

a m = a o "P

d’où

S = i {m -}-1) («o -j- fl m),

ce qui est la proposition énoncée.

6. Appliquons cette formule à trouver la somme desseize nombres en progression arithmétique,

h 3, 5, 7,9, n, r3, i5, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 3i.

Nous avons ici a Q = 1, a m — 3i, m -j-1 = 16 et $—1.Substituant dans (b ), nous obtiendrons

S — - . 16(1+3i) = = 256

2 1 ' 2

on opérera de même dans tous les cas particuliers.

7. Si dans l’expression (b) on substitue à la place de a„,sa valeur a 0 -f- mS, elle devient

a n — a 0 — «o + n<î— a 0 =nSa m — a m - n = a 0 + mS — a a — {m—n)3 = nS

et, par conséquent, a n — a 0 — a m — a m — n.

4- On tire de cette égalité a B -f* a m = a n -j- a m —n ,c’est-à-dire que la somme de deux termes quelconquesd’une progression arithmétique , pris à égales distancesdes extrêmes , est toujours égale à la somme de cesextrêmes.

Si la progression avait un nombre impair de termes,celui du milieu serait moyen proportionnel entre lesextrêmes, et la somme des extrêmes serait le double dece terme‘moyen.

5. 11 résulte de cette propriété que la somme de tousles termes d’une progression arithmétique est égale à lamoitié du produit de la somme des extrêmes multipliéepar le nombre des termes.

Cal, en renversant l’ordre des termes de la progres-sion

— ao, a, t a x , a 3 , etc... a m -i, a m

ou a

S == (m+i) a 0 +

g

2

formule qui donne la somme des termes d’une progres-sion arithmétique au moyen du premier terme, de ladifférence et du nombre des termes.

8. Les trois formules

ctjff » ciç “j* jii3S = ^ fa 0 +am)

S = (wi-j-i) a 0 + ^

renferment la solution de toutes les questions qu’on peutse proposer sur les progressions arithmétiques.

En désignant par n le nombre des termes qui est icim-f-i, le dernier terme a n —1 pour indice, et on peutdonner à ces expressions les formes suivantes, sinon plussimples du moins plus caractérisées

(c). a n -i—a 0 -(- (n —\)3

-7- am , am— 11 a, n — 3, etc..., a, , a a

et en ajoutant les termes correspondais de ces deuxsuites, on a les sommes égales

(d) . s =^«(a 0 +a n -i)

(e) .S = na a + ^ n{n — 1)3

ao - } a m . . a, , — a, -J- a m —3 — etc. = am —1 -}- a,

9. On tire de l’expression (1) les trois égalités

— am -j- a 0 .

Or, en additionnant toutes ces sommes, on aurait évi-demment pour résultat deux fois la somme de tous lestermes delà progression : ainsi, puisque ces sommes sontégales et qu’elles sont au nombre de m -j- 1, en multi-pliant par m + 1 une quelconque d’entre elles, on aurala somme générale. Donc ( a a a ,„). (m+i) étant cettesomme générale, ou a pour celle de la progression , enla désignant par S, l’exnrcssion (b)

TOUS 11.

ao — 1 ûn —i — (/Z—I

g an—1— -a 0

a n —i — a 0 ,n = -5-r 1 1

dont la première donne le premier terme d’une pro-gression au moyen du dernier, de la différence et dunombre des termes J dont la seconde donne la différence

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