570 PR
au moyen du premier et du dernier terme, ctdu nombrede* termes ; et dont, enfin, la troisième donne le nom-bre des termes au moyen du premier et du dernierterme, et delà différence.
io. Les applications de ces formules ne présentant au-cune difficulté , nous nous contenterons d’en présen-ter un seul exemple.
On demande d’insérer cinq moyens proportionnelsarithmétiques entre les deux nombres 2 et 14, ou, ce quiest la même chose, on demande cinq nombres u,v,x,Y, z , tels qu'on ait la progression
x,y, z, 14.
Il est visible que la question se réduit à trouver la dif-férence de la progression , car si l’on connaissait cettedifrè'rence, on formerait les termes demandés, u, v, x,y, z , en l’ajoutant successivement une fois, deuxfois, etc., au premier terme 2. Ainsi, le premier et ledernier terme étant connus ainsi que le nombre 7 destermes , en substituant ces valeurs dans la seconde ex-pression du n° 9, on trouvera
7-1
La progression sera donc
-i- 2, 4, 6,8, 10, 12, 14,
et, par conséquent, les cinq moyens proportionnels de-mandés sont 4,6, 8, 10, 12.
11. Ou tire également de la formule ( d) les troisexpressions
2S — na 0
Cln —1 —-
n
2S — na n — 1
2S
n = -j-
& n — i +<* 0
qui servent respectivement à trouver le nombre des ter-mes , le premier et le dernier terme , lorsqu’on connaîtdeux quelconques de ces quautités et la somme.
12. La formule (e) fournit encore les trois expres-sions
j _ 2(S— na„)
~ n(n—i)
, . = _îî f i ±V /[s+(^i)]
à l’aide desquelles on peut obtenir le premier terme ,
PR
la différence ou le nombre des termes à l’aide de deuxquelconques de ces quantités et de la somme.
i 3 . Ce qui précède renferme la théorie complète desprogressions arithmétiques simples; mais on donne en-core le nom de progressions arithmétiques a des suitesde termes croissans ou décroissans par différences iné-gales , dont la considération est très-importante. Yoicila génération de ces suites. Soit
-7- A, A -j- D , A -j— 2D , A-j- 3 D, etc.... A + (n — 1 )D
une progression arithmétique ordinaire. E11 formant lessommes successives de deux, trois, quatre, etc., de sestermes, on obtient une suite de nombres dont les secondesdifférences sont constantes, savoir :
Cette suite de termes se nomme progression arithméti-que du second ordre.
De môme, en prenant les sommes successives de deux,trois, quatre, etc., termes d’une progression du secondordre, on obtient une suite de termes dont les troisième*différences sont constantes :
termes. 1” diff.
2« diff.
3 ” diff.
A
3 A+ D, 2A+ D.
6A+4D, 3 A+ 3 D,
A+D.
10A+10D, 4 A+ 6D,
A+2D,
D.
i5A+2oD, 5 A-j-ioD,
A+ 3 D,
D.
etc. etc.
etc.
etc.
et que l’on nomme progression arithmétique du troi-sième ordre. On peut, en poursuivant de la même ma-nière, former des progressions d’ordres de plus en plusélevés, et en général on nomme progression de l’ordre n,celle dont les différences constituent une progression del’ordre n —1, ou dont les n ièmes différences sont égales.
14. En partant de la progression ordinaire, ou dupremier ordre,
— 1, 2, 3 , 4, 5 , 6, 7, 8, 9, etc.
formée de la suite des nombres naturels, ou obtientpour les progressions des ordres suivans :