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l'ordre, i, 3, 6, 10, i5, ai, 28, 36, 45, etc.
Z'ordre, i, 4, io, 20, 35, 56, 84 , iao, i65, etc.
4 e ordre. 1, 5, i5, 35, 70, 126, 210, 33o, 4 q 5, etc.
Les nombres de ces suites prennent le nom de nombresfigurés. (P'oj. ce mot.)
Si 1’ on désigne par m le rang ou l’indice d’un terme,on trouve pour l’expression générale du terme de ce rang,c’est-à-dire, pour ce que l’on nomme le terme généralde la suite,
Nombres naturels..Figurés du 2 e ordre
Figurés du 3 e ordre
Figurés du 4 e ordreetc.
m
m(m-f-i)
I .2
m{m-\- 1) (m+2)
1.2.3
m(m- f-1 )(m-4-2)(m-j-3)
1.2.3.4
etc.
différence S. En faisant dans cette expression a 0 = 1 et^ = 1 , nous obtenons pour le terme sommatoire delàsuite des nombres naturels
S = n 4- - nln —1) =-!—>- d ——IL-
2 ' 2 2
_*(«+»)
2 ’
ce qui est identique avec le terme général des nombresfigurés du second ordre. Car m et n désignent égale-ment ici le nombre des termes. Ces remarques étaientindispensables pour ce qui va suivre.
i5. Désignons par A,, A,, A 3 , A 4 , etc.... km, unesuite de nombres formant une progression arithméti-que du second ordre; désignons encore par D t , D t ’,D t ", etc, les différences consécutives k % — A, A,—A,, etc., et enfin par D â , la différence constante despremières différences D t , D/, D t ", etc., ou D/—D t ,D,"—D t ', etc., nous aurons de cette manière les troissuites de nombres
En général, le terme du rang m dans la suite des nom-bres figurés de l’ordre n est
mf/7i -pi)(/w-f-2)(m-j-3).. .{m-\-n —1)
1.2.3.4-5....»
Nous verrons ailleurs comment on obtient ces termesgénéraux. ( Voy . Sommatoire.)
D’après la formation de ces suites , il est évident quele terme général d’une quelconque d’entre elles exprimela somme des m premiers termes de la suite précédente.Par exemple :
M{j7l —|— l)
I .2
est la somme des m premiers termes ae .a progressiondes nombres naturels ;
mpn+t) ( m-f-2)
1.2.3
A3,
A,,
A-5J
A.,
etc.
*>/,
D,",
D,”,
TV",
etc.
D*,
D.,
D.,
D„
etc.
liées entre elles par la loi de formation du n° 12.
Or, en vertu de la construction même de la progres-sion du second ordre, on a les égalités suivantes
A,=A,-fD,
A 3 = A,+D,' =A,+D,+ D a = A.+ 2D.+ D,A 4 =A 3 +D," =A 3 +D, + 2D,= A,+ 3D i + 3D,A 5 = A 4 + D," = A 4 + D, 4- 3D = A, + 4D. + 6D,A s = A 5 + D,""= A s -f D, +4D.= K + 5D, +10D.etc.etc.etc.
Il est visible que le terme k m aura pour expression gé-nérale (J)
est la somme des m premiers termes de la progressiondes nombres figurés du second ordre, et ainsi de suite.Comme on nomme terme sommatoire d’une suite determes 1 expression générale de la somme d’un nom-bre quelconque de ces termes , nous pouvons dire queme general d une suite de nombres figurés est enmeme temps le terme sommatoire de la suite de l’ordreimmédiatement inférieur.
L’expression (e)
S = na, -{- _ /J [n — j'jg
peut se nommer le terme sommatoire d’une progressiondu premier ordre, dont le premier terme est a a et la
A + [m— 1) D t +
(m —1) (m— 2) ^1.2 ’
car, dans la suite des valeurs des termes k % ,k } , A 4 , etc.,les coefficiens numériques de D, sont les nombres natu-rels 1, 2, 3, 4 , etc., et comme cette suite ne commencequ’au second terme de la progression , le coefficient deD,, dans le m ièpie terme, est le terme m— 1 de la suitedes nombres naturels. En outre les coefficiens numéri-ques dte D, sont formés par l’addition successive deceux de D, ; ces coefficiens sont donc la suite des nom-bres figures du second ordre ; mais ils ne commencentà paraître qu’m troisième terme de la progression,cYst-à dire que le toeffLicnt i.umériq<-o du terme Am