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est le nombre figuré du second ordre du rang m —2 ;il faut donc substituer m —a à m dans l’expression géné-rale de ces nombres, et l’on obtient en effet pour leterme général de la progression du second ordre l’ex-pression ci-dessus.

16. La somme d’un nombre quelconque m de termesd’une telle progression étant nécessairement égale à lasomme de toutes les quantités qui composent ces ter-mes , on a

A, A,-}- As -J- Aj -j- A 5 4- A 6 -J- etc.... -J-Am= (A, —f- Ai -f- etc...) (i -f-a-f-etc.. .-j -m — i)D,

+ (,+ 3 + 6 +«c...fc^fc 2 )D.

mais nous avons d’abord A, + A, -f- Ai -|- etc...= tmA,. De plus , la somme des nombres naturels de-puis i jusqu’à m —i est le nombre figuré du second or-

•ii , , 7/1(771—i) ,

dre du rang m— i, c est-a-dire, —--- ; et la s

i .2

i somme

des nombres figurés du second ordre depuis le premier

î jusqu au ni—a îcme , --^--, est le nombre

figuré du troisième ordre du rang m —2 , c’est-à-dire

ni ( m —i) (ni—a)

iTaTl

PR

La déduction de ces formules ne présente aucunedifficulté.

18. En général, la progression arithmétique de l’or-dre n a pour terme général, ( k)

A.+(».-.)D. + fe!=ii^D.+ ( 2 =iH!r;D.

et, pour terme sommatoirc (/)

ni A, -f

ni’l—«

~ï*îï~

D +

1 ^ i 3 U

D.+

m 4 !— 1 „

—,— Di etc.... »i 4 ‘

+

ni" + M—'i" + M»

D n

A, désignant toujours le premier terme, et D., D t , Djles différences successives.

Appliquons ces formules à quelques questions.

19. On demande la somme des carrés des nombresimpairs 1, 3 , 5 , 7, 9, 11 ; ces carrés sont

i) 9. 49, 8i, 121.

En prenant les différences consécutives de ces nom-bres on trouve la suite

8, 16, 24, 3 a, 4 «

Ainsi, désignant par S la somme des m premiers ter- dont les différences

mes de la progression en question, nous aurons (g) g, g } g^ g

S = m A, -J-

711(1,1— 1 ) D m(m— 1) (m— 2) ^

1.2 1 ‘ 1. 2.3 *

17. Une marche exactement semblable nous feraittrouver pour le terme général d’une progression dutroisième ordre l’expression (h)

A, -f- (m —1) D, -f- ») D,

( m — 1 ) ( m —a) (m— 3 ) d

i.a .3 3

A, désignant le premier terme de cette progression, D,la première des différences premières, D, la premièredes différences secondes et D, la troisième différenceconstante.

On obtiendrait également pour la somme d’un nom-bre m de termes de cette progression le terme somma-toire (i)

S = „ lAl + D, + ïïfcîltel) D.

m(m—i) (m —2 (m— 3 ) ^

T 0 -■-i/|

l . 2. 3 . 4

sont égales. Les nombres proposés forment donc uueprogression du secoud ordre. Ainsi dans la formule (g)nï i 5 , faisant A, = 1, D. = 8, D, = 8, nous obtien-drons

S = 6.1 4- ÎL. 5.8 + —|.8 = a861 2 i.a.3

20. On demande l'expression générale de la sommedes carrés des nombres naturels 1, 4, 9, 16,

36 , etc...

Nous avons ici A, =1, D, = 3 , D, = 2. Substi-tuant ces valeurs dans la formule (g ), elle devient

. 3 m(m~i) 2 m(m —i)(m—2)

S == 7,1 -f- '- P - 5 -

1 1.2 1.2.3

= ^-^--^2/;i (t?i— 1 ) (m— 2 ) -j- 9 «i (,71— 1 ) -}- 6/tiJ777 (,7l -f* i) (2771 -j- l)

— ITâTÎT

Ainsi, pour avoir, par exemple, la somme des rocarrés