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i> 4» 9> 2 5, 36, 4g, 64, 8i, iooon fera m = io, et la dernière expression donnera

S =

io. ii.ai1 . 2.3

= 385

385 est donc la somme demandée.

ai. Trouver l’expression générale de la somme destroisièmes puissances des nombres naturels :

i, 8, 27, ia 5 , etc.Les premières différences sont

7, 19, 37, 61, etc.

les secondes

12, 18, 24, etc.

et les troisièmes

6, 6, etc.

termes d’une progression du second ordre. Ces pilesont ordinairement pour bases un triangle équilatéral,un carré, ou un rectangle. Si l’on désigne par n lenombre des boulets d’un côté de la base, la somme desboulets des piles triangulaires et quadrangulaires e3tdonnée par les expressions

. n (n 4 - 1) (n 4 - 2)

Pile triangulaire = —-—*—g--

d-7 j , • « (n + 0 (a« + 0

Pue quadrangulaire — —-— ! —-

La somme des boulets des piles rectangulaires est,en désignant par m le nombre des boulets de la lon-gueur de la base, et par n celui des boulets de la lar-geur de cette base, '

. . m (m+ 1) ( 3 /i—

Pile rectangulaire — -g-

Les troisièmes différences étant égales, les nombresproposés forment une progression du troisième ordre ;ainsi faisant Ai = 1, D, = 7, = 12 et D, = 6, et

substituant ces valeurs dans la formule (1) on aura

0 , i»i(m — 1) , \ r im(m —1 )(m —a)

o=wi-+“-H--,--

1 1.2 1 1.2.3

Progressions géométriques. Une progression géomé-trique est, comme nous l’avons déjà dit, une suite denombres dont chacun est contenu dans celui qui le pré-cède autant de fois qu’il contient celui qui le suit, ouvice versa. Telles sont les suites

■j-j 1 : 2 : 4 :8 : 16 : 32 : 64 : etc.

+

6m(m —i)(/n—a) (m — 3 )

1. 2 . 3.4

Réduisant tous les termes au même dénominateur 4,la somme des numérateurs peut se mettre sous laforme

m[4 + 14 ("i —1) -f- 8 (m —1) ( m —a)

+ ("*—0 ( m —a) (m—3)1

Développant les produits et réduisant, on obtient dé-finitivement

c m\ (m + 1)» _ f m (m+ i)] 1

s = 4

Ainsi, par une particularité assez remarquable, la sommedes troisièmes puissances des m premiers nombres na-turels est égale au carré du nombre figuré du secondordre, du rang m.

S il $ agissait donc de la somme des 6 cubes

*> 8, 27, 64, 126, 216on ferait m = 6 , et la formule donnerait

H- 2187 : 729 : 243 : 81 : 27 : 9 : etc.

La première est une progression géométrique crois-sante , et la seconde une progression géométrique dé-croissante. On les désigne l’une et l’autre par le si-gne rr>

On nomme rapport de la progression le rapport,toujours le même, de deux termes qui se suivent.

1. Soit

A, : A, : A, : A 4 : A s : A 6 : etc... A m

une progression géométrique quelconque. Son rapportsera

et elle sera croissante si r est un nombre entier, et dé-croissante, s’il est une fraction.

On a , par la construction même de cette progres-sion , la suite d’égalités

A, = A. .r

As = A,. r = A., r.r

S

= (21)* = 441.

A* — A 3 .r = A,.r.r.rA 5 = A*.r = A,, r.r .r.r

22. Le problème de trouver l c nombre des boulets ^ ~

qui composent une pile se réduit à l a sommation des et, en général