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Am= Am_ l .r = A,.r.r.r.r....r=A I ./-''—*

Ainsi la forme absolument générale d’une progressiongéométrique est

~^A, : A ,.r : A,./* : A,./ 4 : A,./ 4 ....A,.r"*— 1

sous cette forme, toutes les propriétés d’une telle pro-gression deviennent sensibles.

2. Dans une progression géométrique, deux termespris à égales distances des deux extrêmes A, et A, . r" 1 — ■forment avec ces extrêmes une proportion dont ils sontles moyens, c’est-à-dire que, « étant un nombre en-tier plus petit que m et, par conséquent, A. r" etA, ,r>»—«—i deux termes situés à égale distance desextrêmes, on a la proportion

A, : A,.r n :: A t .r m — n ~ 1 : A, .r™— 1

en effet on a

tfL-r* et A - rm ~ 1A, ’ A ,i——‘

= r”.

Mais dans une proportion (voy. ce mot) le produit dosextrêmes étant égal à celui des moyens, on a ici

A, X A/»”— 1 = A, r« X'’ A m ~"— 1

D’où l’on peut conclure que le produit des deux termesextrêmes d’une progression géométrique est égal à celuide deux termes quelconques pris à des distances égalesde ces extrêmes. Propriété analogue à celle des pro-gressions arithmétiques du premier ordre (4).

3 . Le rapport du premier terme d’une progressiongéométrique à un autre terme d’un rang n est le mêmeque celui des puissances n —i des deux premiers termes.Ainsi le terme du rang n étant A t .r n — 1 , on a

PR

de la somme d’un nombre quelconque de termes d’uneprogression géométrique.

Une telle progression

.. A, s A, • A3 s A 4 ; A, ï .... Am

n’est que l’expression abrégée de la suite des rapportségaux

A t * A a — A, • A3 — A31 A 4 —— A 4 * A3 • etc.

Or, dans une suite de rapports égaux, la somme desantécédens est à la somme des conséquens dans ce mêmerapport commun (voy. Proportion) ; on a donc ici :

(A,-|-A a —J— etc.A m —1) î (A a -f- A etc.... .-}-A ,)

: : A,: A, ;

mais A, A, -f- A 3 -f- etc... -|- A m —1 est la somme destermes delà progression moins le dernier Am . et A, -f-A 3 —J- A* -|-etc... -{- Am est la somme des mêmes termesmoins le premier A t . Désignant donc cette somme parS , la proportion ci-dessus devient

(S—Am) : (S—A,) : : A, : A.

d’où l’on tire

c A a .A m —A,. A,

s ~ AT^aT

Pour rendre cette expression indépendante du secondterme A,, nous ferons observer que A, = A ,r, et ensubstituant nous obtiendrons

g _ A,.A m r —A,A , A,(A m r —A,)

A,r —A, ~ A,(r—jf - ’

et définitivement (a)

A, : A,r»—» :: (A t )»—« : (A,r)»—«Cette propriété est encore évidente, car

! 'I

A.r"—1

—= r n - 1, et

(V)—■

A,"—*

/*-»

Ainsi faisant successivement n = 1, 2, 3 , 4, etc, etdésignant, comme en premier lieu, le rang des termespar des indices, nous aurons

g l A,„r —A,

r —i

Donc, pour trouver la somme des termes d’une pro-gression géométrique ,ilfaut multiplier le dernier termepar le rapport , retrancher de ce produit le premierterme et diviser le reste par le rapport diminué d’uneunité.

5 . Par exemple , pour avoir la somme des dix termesde la progression croissante,

A, :

A, :

: A 1 :

f

A,’

A,

: A4 :

: A, 3 :

A. 3

A, ;

: As :

: A ,4 :

A ,4

A,

: Àe :

: A/ :

A, 5

etc.

etc.

A, :

> A m !

:: A,™-

1 ; A,™

4 . Proposons-nous de trouver l’expression générale

.. 1 ' 2 : 4-8 : 1 6 : 3 î : 64 î 1 28 : a 56 : 5 12 ,

dont le rapport est 2, on fera, dans l’expression (a),Ai=i, A m = 5i2, r — 2, et on trouvera :

Si la progression était décroissante, 011 pourraitc< ! -