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sidérer le premier terme comme étant le dernier, et ledernier comme étant le premier : alors la formule nechange pas, car il est évident qu’il faut toujours prendrepour A m le plus grand des extrêmes et pour A t le pluspetit. Seulement il devient nécessaire de renverser le

A A»

rapport, c’est-à-dire de faire ^ = r, au lieu de

As Ai

Ainsi, si l’on demandait la somme des huit termes

S' =

2

3 ’

celle de la seconde

S' =

4 —i

3 ’

ainsi, la somme demandée devient

375

• • 1 . 1 . 1 - JL . JL

** a ' 4 ’ 8 ’ 16 ' 3a ' 64 ’ 128 ‘ 256’

onferait Am = ^ ,Ai = , r = 2, et l’on aurait

1 1

2' 256 1 255

2—1 1 256 256’

7. Si, dans l’ëxpression

c k m r — A,

D = ,

r— i

on substitue à la place de Am sa valeur A,r"*—‘, elledeviendra (b ),

6. L’expression ( a ) nous donne le moyen de sommertoute série indéfinie dont les termes forment une pro-gression géométrique décroissante. En effet, pour avoirla somme de la série

+ g + Jq + ^ + etc ~" « l’infi™,

on remarquera que le dernier terme devant être infini-ment petit, il suffit de faire A m = -, A, = =- , el

^ W

r — 2 5 en substituant ces valeurs on obtient

c A,r"»—A, o A, (r“—1)

ü =- 7 OU D —• ~

Au moyen de cette dernière on peut trouver la sommed’une progression géométrique dont on connaît le pre-mier terme, le rapport et le nombre des termes.

Lorsquela série est décroissante, le rapport est unefraction plus petite que l’unité, et l’on donne à l’expression ( b ) la forme (c),

en faisant disparaître 55-qui n’a aucune valeur devant

^•2. [ Voy . Diff., 24.)

Dans le cas où les termes de la série seraient alterna-tivement positifs et négatifs , tels que

i —r" 1

ces deux for mes sont d’ailleurs identiques, puisque ■ —

_r™—1

r —1

8. La division de r’”— 1 par r — 1 reproduit les ter-mes dont S exprime la somme, et peut servir au besoinde démonstration à l’expression (b). En effet, on trouve,en opérant la division,

/■m—J

——- = r™— 1 -j- r™—* -[- r»— 3 -j- etc... 1,

a"~4+g — ^+3^ etc *” à ^infini,

on pouirait toujours la considérer comme la différencede deux séries géométriques,

( 2 ”^ 8 32 + f 28 + etc “- à F infini?)

-Q + I6 + é + L56+ etc - à ? infini).

d’où

=A,+A I r+A I r 1 +A I r 3 +etc... + A,i«->.

g. Proposons-nous de trouver la somme d un nombrequelconque de termes de la progression géométriquedécroissante

„i.M . -L._L._L ,

•• 3 ' 6 ' 12 ' 24 ’ 48 ' 96 ! elC, * ,

Le rappor* étant g : - = g = J nous ferons A, = -

Or, la somme de la première est