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PR
et r s= - , et substituant dans (c), nous obtiendrons
2
Pour avoir, par exemple, la somme de 8 termes, nousferons m = 8, et nous trouverons
c _ 2 ^ _i_\ _ 5io
3 V 256 y ~ 768
On voit ici facilement que plus on prend de termeset plus diminue, et qu’en faisant m =00, la sommede la série, continuée à l'infini , est rigoureusementégale à
10. Les trois formules
( a
A m
(b) .S
W.s
= A
_Am.r—A,
r —1 1
renferment la solution de tous les problèmes qu’011 peutse proposer sur les progressions géométriques.
On tire de la première : i°
. Am
A* = --•
expression qui sert à calculer le premier terme au moyendu dernier, du rapport et du nombre des termes; a»
expression qui sert à calculer le rapport par le premierterme, le dernier et le nombre des termes. Et, 3 °
m _ L °gA-m—LogA, f
Logr
expression qui fait connaître le nombre des termes aumoyen des logarithmes du premier terme, du dernier etdu rapport.
L’application de ces formules ne présentant aucunedifficulté, nous nous contenterons d’en donner un seulexemple.
Insérer entre 1 et 128 cinq moyens proportionnelsgéométriques, ou trouver cinq nombres , u, v, x, y, z,tels que l’on ait (d)
fr 2 : u : v : x t y : z : ia8.
Il est évident q ue si le rapport de la progression était
PR
connu, on obtiendrait les termes demandés en multi-pliant successivement le premier terme 2 par ccrapport jc’est donc ce rapport qu’il s’agit de trouver. Or, nousconnaissons ici le premier terme A, = 2, le dernierterme Am = 128 et le nombre des termes m = 7 ;ainsi, substituant ces valeurs dans la seconde des troisexpressions précédentes, il viendra
Nous aurons donc u = 2.2, v = 2.2 1 , æ = 2.2 J ,y — 2.2 4 , z = 2.2 5 , et, par conséquent la progres-sion est
H- 2 : 4 : 8 : 16 : 64 : 128.
La propriété que nous avons démontrée ci-dessus aun° 3 , nous offre, pour résoudre le même problème,un moyen que nous devons signaler. D’après cette pro-priété, la progression ( d ) fournit la proportion
2 : 128 : : 2 6 : u 6 ,
« 2®. 128
d’où 2U S = a 6 .128, et u 6 = —— = 4096, ce qui
donne
u = \Aoq6 — 4 .
Ainsi le premier moyen est 4 * Mais connaissant le pre-mier et le second terme , on connaît le rapport qui est
— = 3 , ainsi on peut former les autres termes, comme2
nous venons de le faire.
11. La seconde formule (£) nous fournit égalementles trois expressions
A, = A m .r —S(r—1)
» _ S(r— i) + A,
Am — -- -
r ‘ •
_ S—A,r ~ S—Am’
qui servent à trouver respectivement le premier terme,le dernier, ou le rapport lorsque deux de ces quantitéssont données avec la somme. La déduction de ces for-mules est évidente.
La troisième formule (c) répond encore à quatre ques-tions différentes, puisqu’elle contient aussi ouatre indé-terminées ; mais à l’exception du cas où l’on demandeS, ce qui est celui de la formule (c) elle-même, et ducas où l’on demande A,, ce qui fournit l’expression
A,
S(r—0
r "—1 1
les applications de cette formule présentent des difficul-