PR
PR
377
tés qui ne se rencontrent pas dans les précédentes ; parexemple, s’il s’agissait de trouver le rapport r, on nepourrait y arriver qu’en résolvant l’équation (e) ,
ou
A,r m — Sr = A, — S
o.
qui est du degré m. Supposons que l’on demande lerapport d’une progression dont le premier terme est iet la somme des io premiers termes égale à 1023, onaurait à résoudre l’équation
1023 . 1023
r'<> - r -i=90,
T 1 T '
mais quand on eut calculé le nombre total des grains deblé , il vit à sa grande surprise que ses trésors et mêmeque ceux de tous les rois de la terre n’étaient pas suffi-sans pour remplir sa promesse. En effet, il s’agit icid’avoir la somme des 64 premiers termes de la progres-sion croissante i : 2 : 4 : 8 : 16 : 32 : etc., on a doncA, = i, r = 2 et m = 64 J substituant ces valeursdans (e) on trouve
S
= 2 ^ — 1
élevant 2 à la soixante-quatrième puissance et retran-chant l’unité du résultat, on a
S=i8 446 744 076 709 55 i 6 i 5 .
ou
r'° —i023r + 1022 = o.
Ici l’on peut aisément, par la méthode des racines com-mensurables ( voy . Racine), trouver la racine /•= 2 , quisatisfait à la question ; mais si le rapport n’était pas unequantité rationnelle , ce qui peut arriver, en prenantune somme et un premier terme arbitraires , l’équation[e) ne pourrait admettre qu’une solution approximative.
Dans le cas où l’on demanderait le nombre m des ter-mes , il faudrait résoudre l’équation exponentielle (voy.ce mot)
Am
ce qui donnerait, en employant les logarithmes ,
m = L °g[S(r—i)+A,] — Log A,
Logr
Soit, par exemple : S = 1023, r = 2, A, = 1 , onaura
_ Log[io23.14-1] — Logt _Log 1024
Log2 Log2
_ 3 ,oio 3oo _
o,3 oio 3o
12. Pour donner un exemple de l’accroissement ra-pide que reçoit la somme des termes d’une progressiongéométrique croissante , quand on augmente le nom-bre de ces termes, on raconte l’anecdote suivante, quidonne au moins un fait de calcul assez remarquable.
inventeui du jeu des échecs, pressé par son roi deréc amer une récompense digne de sa découverte, aprèss en être défendu long temps , se fit apporter un échi-quier, et dit au prince d’ordonner qu’il lui fût délivréun grain de blé pour la première case , deux pour laseconde, quatre pour la troisième , et ainsi de suite endoublant toujours jusqu’à la soixante-quatrième. Cettedemande parut d’abord beaucoup trop modeste au roi,
Or, pour contenir un pareil nombre de grains de bléil faudrait environ g 1522 greniers, ayant chacun unelieue carrée de surface sur 20 pieds de hauteur. En neportant qu’à 2 francs le prix du pied cube de blé, lavaleur de chaque grenier serait de 518 4oo 000 francs ,et leur valeur totale
47 445 oo4 800 000 francs j
Somme que tous les budgets modernes réunis sont loiud’atteindre.
PROJECTILE. (Méc.) Nom que l’on donne à toutcorps jeté par une puissance quelconque, et dans unedirection quelconque. Une pierre que l’on jette avec lamain ou avec une fronde, une bombe ou un bouletlancé par l’effort de la poudre, sont des projectiles.
La théorie du mouvement des projectiles est la basede cette partie de l’art militaire à laquelle ou a donnéle nom de Balistique. {Foy. ce mot.)
PROJECTION. (Mec.) Action d’imprimer du mou-vement à un projectile. On a discuté pendant bienlong-temps sur les effets de la force de projection , et lesanciens philosophes ne savaient comment expliquer lacontinuation du mouvement dans unprojectile après quela cause qui l’a mis en mouvement a cessé d’agir. C’estDescartes qui, le premier, a fait voir que cette conti-nuation de mouvement est une suite de Yinertie de lamatière, laquelle, n’ayant point de détermination ou deforce interne , ne peut par elle-même changer son étatet demeure soit en repos, soit en mouvement, tantqu’une cause extérieure ne vient agir sur elle. ( F’oy.Nature.)
PROJECTION. (Ge’om.) Représentation sur un plan,donné de position, d’une figure située dans l’espacehors de ce plan. C’est la trace déterminée par les inter-sections des droites que l’on peut mener de tous lespoints de la figure sur le plan.
TOME II.
48