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Si toutes les droites , menées des divers points de lafigure sur le plan, sont perpendiculaires à ce plan, laprojection est dite orthogonale. Si toutes ces droitesconcourent au contraire vers un même point, la pro •jection est dite centrale, a b (PI. 55 , fig. i) est la pro-jection orthogonale de la droite AB sur le plan MN, etcd (PI. 55, fig. a) est la projection centrale de la droiteCD sur le plan 5IN. Dans ce dernier cas , le point o ,où concourent toutes les droites dont les intersectionsavec le plan Mîï déterminent cd, se nomme le centrede projection. La théorie des projections est l’objetgénéral de la Géométrie descriptive. {Voy. ce mot.)Les projections centrales sont le fondement de la per-spective. {Voy. ce mot.)

La projection de la sphère sur un plan est une re-présentation des différons points de la sphère et descercles tracés sur sa surface, qui est principalement enusage dans la construction des mappemondes et descartes géographiques. On la divise ordinairement enprojection orthographique et en projection stéréogra-phique.

La projection orthographique est celle qui est faitesur un plan qui passe par le centre de la sphère , l'œil ,ou le point de concours des droites projectives, étantsupposé à une distance infinie sur la droite qui passepar le centre perpendiculairement au plan.

La projection stéréographique est celle qui est faitesur le plan d’un grand cercle de la sphère , l'œ 1 étantsupposé au pôle de ce cercle.

A ces deux espèces de projections on peut ajouter laprojection gnomonique qui est celle où l’on supposel’œil au centre de la sphère. {Voy. Gnomonique.)

Dans la projection orthographique , les droites pro-jectives ne concourant qu’à une di-tance infinie, sontparallèles entr’elies, e t comme le point de concours estsur une perpendiculaire au plan de projection, tout’*ces droites sont aussi perpendiculaires à ce plan. Leslois de cette espèce de projection sont donc les mêmesque celle des projections orthogonales {voy. Descrip-tive) ; ainsi :

i° Une droite perpendiculaire au plan de projectionse projette par un seul point qui est celui où elle coupece plan.

2 « Une droite oblique au plan de projection se pro-jette par une droite dont les extrémités sont détermi-nées par les perpendiculaires abaissées des extrémitésde cette oblique sur le plan.

3° Si la droite projetée est parallèle au plan de pro-jection , sa projection lui sera égale. Dans tous les autrescas, sa projection sera une droite plus petite qu’elle.

4° Une surface plane perpendiculaire au plan deprojection se projette par une simple ligne droite qniest 1 intersection commune du plan de cette surface et

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du plan de projection. Par conséquent tout cercle dontle plan est perpendiculaire au plan de projection , etqui a sou centre sur ce plan, se projette par son dia-mètre. Tout arc, d’un tel cercle, dont une des extré-mités répondrait perpendiculairement au centre com^mun de la sphère et du plan de projection , se projettepar son sinus. Le complément de cet arc se projette parson sinus verse.

5° Un cercle parallèle au plan de projection se pro-jette par un cercle égal, et un cercle oblique à ce planse projette par une ellipse.

La projection orthographique de la sphère est em-ployée en astronomie pour construire et résoudre lestriangles sphériques avecla règle et le compas , lorsqu’onn'a pas besoin d’une extrême précision ; nous en avonsdonné un exemple au mot Analemme . Cagnoli , dansson traité de trigonométrie , a consacré un chapitre à cesconstructions.

Dans la projection stéréographique , les droites pro-jectives concourant à un point delà surface de la sphère,la projection est centrale ; elle est donc soumise aux loisde la perspective ; ainsi :

i° Tout grand cercle CABD (PI. 55, fig. 3) quipasse par le centre o de l’œil se projette par une droiteCD. Cette droite est le diamètre de la sphère, on lanomme ligne des mesures.

2 ° Tout petit cercle AGBII dont le plan est parallèleau plan de projection se projette par un cercle agbh.

3° Tout petit cercle ABCD ( PI. 55 , fig. 4) obliquepar rapport au plan de projection se projette encorepar un autre cercle abed.

4° In projection d’un grand cercle oblique ABCD(PI. 55, fig. 5) est un cercle BGFE dont le. centre setrouve sur la ligne des mesures. La distance de ce cen-tre .ri centre de la sphère est égale à la tangente del’angle d’inclinaison du plan du cercle oblique sur leplan de projection.

5° Les diamètres des cercles de projcctiou sont égauxà la moitié de la somme des tangentes de la plus grandeet de la plus petite distance des cercles projetés aupôle du plan de projection , lorsque les cercles pro-jetés entourent ce pôle; et ils sont égaux à la diffé-rence de ces mêmes tangentes lorsqu’ils ne renfermentpas ce pôle.

G° Les angles que font sur la surface de la sphère lescercles projetés sont égaux à ceux que font leurs projec-tions respectives sur le plan de projection.

La projection stéréographique sert principalementpour la construction des mappemondes ou cartes quireprésentent la surface d’un hémisphère entier duglobe terrestre. Telles sont les cartes planches 35 et 36.On prend ordinairement pour plan de projection leplan d’un méridien , et alors les pôles de la terre sont