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1. - B = C - D

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deux points du cercle principal de projection, et lesdivers méridiens sont représentés par des arcs de cerclepassant tous par ces pôles. Lorsqu’on prend le plan de1 équateur pour plan de projection, le pôle est an cen-tre du cercle principal de projection qui représente1 équateur terrestre, et les divers méridiens sont repré-sentés par les rayons de ce cercle. On nomme les cartesconstruites sur ce principe mappemondes polaires.{Foy. Stereographique.)

La projection centrale des figures géométriques surun plan donne naissance à un grand nombre de consi-dérations importantes sur les relations qui existententre ces figures et leurs représentations projectives.Nos limites ne nous permettent pas d’aborder ce sujetpour lequel ou doit consulter le traité des propriétésprojectives des figures , de M. Poncelet.

PROPORTION. ( Alg .) Égalité de deux rapports.

{Foy. NOT. PRELIM. l6 et RAPPORT.)

La proportion se nomme arithmétique ou géométriqueselon que les rapports qui la composent sont arithmé-tiques ou géométriques.

i . Proportion arithmétique. Si deux nombres Aet B ont la même différence que deux autres nombresCi et D, l’expression de cette relation d’égalité (a)

A — B — C — Dque l’on écrivait jadis

A.B : C.D ,

est une proportion arithmétique.

Le premier et le dernier terme de la proportionprennent le nom d 'extrêmes , et le second et le troi-sième celui de moyens.

En ajoutant aux deux membres de l’égalité {a) laquantité B -(- D, elle devient (c)

A+D=C+B

c’est-à-dire que dans toute proportion arithmétique lasomme des extrêmes est égale à la somme des moyens.

2 . Cette propriété fondamentale donne le moyen decalculer un des termes de la proportion à l’aide destrois autres, car de (c) on tire :

A = C + B — D , C=A + D — BB = A + D — C , D — C -f- B — A

qui nous appr enc i : i° que l’un quelconque des

moyens est épal \ u , , , . . , ,

o 1 u ia somme des exlremes dimiuuee de1 autre moyen • no _ „

, , ' ’ 4 u c t un quelconque des exlremes

est égal a la somme d,.. .. . , , „

° e acs moyens diminuée de 1 autre

extreme.

3. Dans une proportion arithmétiqudes autécédens est égale à celle des coà-dire, que si on a la proportion

on a aussi

A — C = B

D

ce qui est évident. En général, toutes les propriétés desproportions arithmétiques se déduisent des lois simplesde l’égalité et sont identiques avec ces lois.

4-. Lorsque dans une proportion arithmétique le*moyens sont égaux comme [d) ,

A — B = B — C

la quantité B prend le nom de moyenne proportion-nelle.

On obtient la valeur d’une moyenne proportionnelleentre deux nombres donnés, en prenant la moitié dela somme de ces nombres. En effet, on tire de l’égalité

«

s»B = A 4- C d’où B = ^-t-.

1 %

5. Proportion ge'ome'trique. Ces proportions ont despropriétés analogues à celles des proportions arithméti-ques. Avant d’en donner la déduction , nous devonsfaire observer que c’est plus particulièrement aux rap-ports et aux proportions par quotient que les termesrapport et proportion s’appliquent ; de sorte que lors-qu’on parle d’une proportion sans spécifier sa natureon entend toujours parler d’une proportion géométrique.Déjà on a proposé de substituer les dénominations deproportion par différence et de proportion par quotient àcelles de proportion arithmétique et de proportion géo-métrique, qui sont véritablement inexactes en ce qu’ellesne se rapportent pas à la définition de leur objet ; maissans rien préjuger sur les changeniens qui deviennentnécessaire* dans la nomenclature des mathématiques ,nous désignerons simplement ici une proportion géo-métrique par le seul mot de proportion.

6. Lorsque le rapport de deux nombres A et B, c’est-à-dire le quotient de la division d’un de ces nombrespar l’autre , est égal au rapport de deux autres nom-bres C et D , l’expression de cette relation d’égalité

A C

B ~ D’

qu’on écrit aussi habituellement (d ),

A : B : : C : D ,

ce qui se prononce A est à B comme C est à D, est uneproportion.

Le premier et le dernier terme A et D se nommentles extrêmes, et les deux autres les moyens. A est lepremier antécédent, C le second ; B est le premier con-séquent, D le second.

Eu réduisant les deux membres de l’égalité

A _ C

B D’