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QU

litéà la seconde puissance et en multipliant par 4 ceuxde la seconde, on obtient

A. 1 = a 1 + + b*

4B = 4 ab

Retranchant la seconde égalité de la première, il vientA* — 4B = a' — lab -{• b* = (a — b) %ce qui donne

\/| A 1 — 4B]=a — bAinsi on a donc d’une part

a + b = — A

et de l’autre

a — b s= y/[A* — 4 B 1

Mais quand on connaît la somme et la différence dedeux quantités, on obtient la plus grande de ces quan-tités en ajoutant la moitié de la différence à la moitiéde la somme, et la plus petite, en retranchant la moitiéde la différence de la moitié de la somme {voy. Équa-tion, io); donc nous avons ici

«=- 5 A +j\/[ A - 4B ]

‘=-; A -;\/[ A ’-* B ]

l’elles sont les expressions générales des valeurs desracines de l’équation du second degré en fonctions descoefficiens de cette équation. Comme a ou b substituésà la place de x dans

x 1 -J- Ax -f- B — o

réduisent le premier membre à zéro , on réunit cesdeux valeurs sous la forme ( p)

x=—'-A± y/[A>—4B]

En prenant la racine carrée de A* — 4 B » nous au-rions dû placer, d’après le principe connu, le doublesigne rfc devant le radical ; mais soit que l’on prennele signe -f. ou le signe —, les valeurs de a et de bne diffèrent entre elles que par le signe du radical, ceq i ne change rien à la double valeur dex, puisqueacines a et b entrent d’une manière symétriquedans la composition de l’équation.

a. Ou arrive à 1 expression (p) par un autre artificede calcul, en faisant disparaître le second terme A* del’équation

x 1 + Ax + B = oce qui la ramène à la forme

QU

ï'-j-Mco

sous laquelle une simple extraction de racine carréesuffit pour faire obtenir les deux valeurs de x , car ona immédiatement

x* = — M, et x = ± \/ — M.

Cette transformation s’effectue en posant

x — y — m,

y étant une nouvelle inconnue et m une quantité arbi-traire qu’on détermine de manière à faire disparaître lesecond terme de l’équation. En effet, substituons.)'— mà la place de x , nous aurons

( y—m )* + A [y—ni) + B = o,

et, en développant,

y 1 — imy -f- m x 1+ A y — Amj= o+ B )

Ainsi, m étant arbitraire, nous pouvons faire A — a m= o, ce qui réduit l’équation précédente à

y* + (m x — A m -f- B) = o,

d’où l’on tire

y* = — m’-f-A/n—B, et y = ±: >/[•’“«»’+ Am — B].

Mais A — am = o donne m =a - A: substituant cette

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valeurde m dans celle dey, on trouve

7’ = ± V / [-? A ’ + ï A ’- B ]

! = ± v / G a - b ]

= — î\/[ A,— 4 B J-

Donc, puisque x = y — m .=y — ï A, on a définit!

2

vement

x = ~{ A -\/[ Al-4B ]

3. Le troisième procédé de résolution consiste à ren-dre le premier membre de l’équation un carré parfait,et il est fondé sur les considérations suivantes :

En faisant passer le terme tout connu B dans le se-cond membre, l’équation devient (ÿ),

x 1 -f- Ax = — B,

et, sous cette forme, le premier membre peut toujoursêtre considéré comme contenant les deux premiers