X =

59 0

QU

QU

termes de la seconde puissance d’un binôme x -\-p, carou a en général,

10

== 5dz i.

(x + pY = X'+ 2 px+p',

et, par conséquent, en prenant p~- A, x' -f- Ax

représente x 1 -f- 2 px. On complétera donc le carré en

ajoutant à x 1 -)- Ax la quantité p 3 ou * A*, ce qui est

la même cho : e. Mais pour ne pas détruire l’égalité (17),il faut ajouteraussi cette quantité à son second membre,et l’on a

x 3 + Ax -f- 7 A 1 = ' A 1 — B4 4

ou

(x - A) 3 = \ A 3 — B.

v 1 2 4

Prenant la racine carrée des deux membres, il vient

*+3 i = ± v/[i A ‘- B ]

et, comme ci-dessus,

4. La valeur des racines de l’équation générale dusecond degré ( r )

x* -f- Ax -f- B = oest donc donnée par l’expression (s)

X = -î A -^/[ A, - 4B ]

et il suffit, pour obtenir ces racines, de substituer dans (s)les valeurs données des quantités A et B , et de réaliserensuite les opérations indiquées. L’exemple suivant estsuffisant pour montrer la marche des calculs.

Déterminer deux nombres dont la somme soit 10 etle produit 24. Si nous désignons par x l’un de cesnombres, l’autre sera 10—x, et nous aurons par la na-ture du problème _ ,

x.(io — x) = 24 , ou 10 x —x 1 = 24 ,

ce qui, ramené à la forme (r), nous donne l’équation

x 3 — iox -f- 24 = o ;

Les deux valeurs 6 et 4 doivent donc satisfaire à la ques-tion proposée. En effet, comme leur somme est 10, ellessont elles-mêmes les deux nombres demandés dont leproduit est 24.

5 . En discutant les valeurs que peut donner l’expres-sion (,ç), d’après celles des corfficiens A et B , on trouvefacilement i° que les deux racines sont toujours réelleset illégales si B est négatif ou, dans le cas de B positif,si 4B est plus petit queA 3 j 2 0 que les deux racines sontimaginaires si, B étant positif, on a 4 B(>A 3 ; et 3 ° queles deux racines sont réelles et égales si leradical dispa-raît ou si, B étant positif, on a A 1 = 4 ^- Nous ne nousarrêterons pas à cette analyse qu’on trouve dans tous lesouvrages élémentaire'.

QUADRATRICE. ( Géom.) Nom donne à differentescourbes transcendante) dont la plus ancienne et la plusremarquable est celle qui fut inventée par Dinostralc ,pour la quadrature du cercle.

Si l’on divise le quart ac d’une circonférence de cer-cle (PI. 54 , fig. 5 ) en plusieurs parties égales as t sg,gr, vu, et uc, et qu’ayant mené de chaque point de di-vision un rayon au centre b du cercle , on divise lerayon ab en un même nombre de parties égales ad,dl, Ik , kr, et rb ; les parallèles au rayon br., menéesparles points d,l,k, r de ces dcrnièics divisions ,couperont les rayons bs, bg, bc, bu en dos points m ,n , p , q , qui appai t : endront à la quadratrice de Di-nostrate.

D’après cette construction , l’arc as est au quart decirconférence asc comme l’abscisse ad est au rayon ab ;faisant donc l’arc as — z , le quart de circonférenceasc — a , l’abscisse ad = x, et le rayon ab =3 r, nousaurons

z : a :: x : r,

d’où

rz = ax

équation de la quadratrice.

Pour trouver le point o où la quadratrice coupe lerayon bc , supposons br infiniment petit ; l’arc uc seraaussi infiniment petit et pourra être considéré commeune partie infiniment petite de la tangente au point c jalors les triangles rqb et ucb seront semblables et don-neront

bc : rq : : uc : br

mais en supposant br infiniment petit on a rq = bo,donc

comparant avec (r), nous avons A = — 10 , B = a 4 , etpar suite

bc : bo : : uc : brDe plus, par la nature de la courbo