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donc
ou
ce qui donne
QU
uc :
br : :
: asc
: ab
bc :
bo : :
asc : ab
r :
bo :
: a :
r
c’est-à-dire que bo esttroisiènic proportionnelle au quartde la circonférence et au rayon.
Ainsi, si l’on pouvait trouver géométriquement lepoint o, on trouverait aussi géométriquement la lon-gueur du quart de la circouférence, et en quadruplanton aurait la longueur delà circonférence entière, d’oùdépend la quadrature du cercle [voy. ce mot). Maiscela est impossible, car en supposant rq infiniment pro-che de bc, cette droite ne peut couper le rayon bu lors-que le point u se confond avec le point c, parce que rqétant parallèle à bc est alors parallèle à bu , ou plutôtparce que rq se confond alors avec bu et bc.
En tirant par le point s, sx, perpendiculaire au rayonab , on a deux triangles semblables qui donnent
bx : bs : : bd : bin,
mais Ar = cosz et bd = r — x ; ainsi cette proportion ,«n faisant bm = y, est la même chose que
cos z : r : : r — x: y
d’où l’on tire
Y —3
J COSZ ’
substituant à la place de x sa valeur tirée de l’équa-tion (a), on obtient définitivement cette autre équationde la quadratrice
_ {a —z)/”
^ «cosz '
Lorsqu’on fait dans cette équation z — a , y devientégal à bo , et comme alors a — z = o et cos z = o, cequi donne
y
o
o '
il faut, pour trouver la valeur d cy, différentierles deuxtermes de la fraction. [Voy. Difk., On obtient decette manière
(a —z)r* — dz.r* r 1
a cosz —«siuz.fi?z asinz
et par conséquent en faisant z — a, d’où sin z = i,
QU
y ou bo = —u a
comme nous l’avons trouvé ci-dessus.
QUADRATURE. ( Gêom .) Transformation d’unefigure géométrique en un carré qui lui soit équivalentou, plus généralement, mesure de la surface d’une fi-gure géométrique quelconque.
La quadrature des figures rectilignes se réduit à dé-composer ces figures en triangles. La somme des airesdes triangles qui composent une figure est égale à l’airedelà figure, que l’on peut d’ailleurs transformer tou-jours en un carré équivalent par les procédés de lagéométrie élémentaire (voy. Aire ). Nous avons donnéau mot Polygonometrie l’expression de l’aire d’unpolygone quelconque.
La quadrature des figures curvilignes est un des ob-jets de la géométrie dite analytique. Quoique les an-ciens aient fait un grand nombre de recherches sur cettematière, particulièrement pour la quadrature du cer-cle, comme ils n’avaient aucune méthode générale pouraborder ces questions transcendantes, leurs découvertesse bornent presque exclusivement à la quadrature de laparabole obtenue par Archimède ; ce n’est que vers lemilieu du xvn' siècle que Wren, Brouncker , HuygensetNeil trouvèrent les moyens de quarrer divers espacescurvilignes, et que Mercator, ramenant ce problèmeau calcul algébrique, eut la gloire de donner, le pre-mier, la série qui exprime en même temps la quadra-ture de l’hyperbole et la valeur des logarithmes natu-rels. Il paraît probable que Newton avait déjà appliquéson calcul des fluxions à la quadrature des courbes avantles découvertes de Mercator, mais la priorité de la pu-blication appartient à ce dernier.
Depuis le pas immense que la découverte du calculdifférentiel a fait faire à la science des nombres, toutesles méthodes particulières ont été remplacées par uneméthode générale aussi simple qu'élégante, dont nousallons donner l’exposition.
i. Si nous désignons par S l’aire d’une figure quel-conque , le problème général des quadratures se réduita trouver la différentielle de S, car cette différentielleétant connue, en l’intégrant, oq obtient la valeur de S,puisque
/[Æ] = S
[voy. Dirr., 49 )} dS est ce qu’on nomme Y élément del’aire.
Pour obtenir cette différentielle, considérons l’es-pace APQ (PI. 55, fig. 5) compris entre l’abscisse AP,l’ordonnée PQ et la portion AQ d’une courbe quelcon-que} si l’abscisse AP =s x croît d’une quantité PP',que nous supposerons infiniment petite ou égale à dx,