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l’ordonnée PQ z=y deviendra P'Q' = P 'm -|- = y

+ dy, et l’aire APQ = S croîtra du trapèze élémen-taire PQQ'P' ; c’est donc ce trapèze qui est Y élémentou la différentielle de l’aire S. Or, l’aire d’un trapèze(voy. Aire , iv) est égale à la moitié du produit de sahauteur par la somme de ses bases parallèles; nous avonsdonc ici

QL

l’angle de ces côtés (voy. Trigonométrie), c’est-à-dire qu’on a

QPP'm = PQ X PP' sin« =ydx.sin* J

et l’aire du triangle QmQ' est égale au produit de sescôtés Q m et mQ' multiplié par le sinus de l’angle QmQ',supplément de l’angle «. Nous avons donc ici

dS= i [pq+P'Q'] X PP'

= ydx + i dydx

et, par conséquent,

(a) . dS — ydx

puisque y dydx est une quantité infiniment petite du

second ordre qui n’a aucune valeur comparable avec laquantité infiniment petite du premier ordre ydx.

En intégrant les deux termes de l’égalité (a) on ob-tient

I. S = fydx -f- C

G désignant une constante arbitraire que la nature dechaque problème particulier donne les moyens de dé-terminer.

Ainsi, pour quarrer une figure curviligne quelconque,il suffit de tirer de l’équation de la courbe la valeurde y, delà substituer dans l’expression (i) et d’intégrer.Nous éclaircirons plus loin cette méthode par des exem-ples.

2 . Nous avons supposé, dans ce qui précède, lescoordonnées rectangulaires, ce qui est généralementsuffisant puisqu’on peut toujours transformer un sys-tème quelconque de coordonnées en coordonnées rec-tangulaires; mais il est utile dans certains cas particu-liers d’avoir la différentielle de l’aire en coordonnéesobliques ou polaires et nous devons, avant de passeraux applications, chercher les expressions de cette diffé-rentielle.

Soit donc APQ (PI. 55, fig. 6) une aire comprise en-tre les coordonnées obliques AP, PQ et la portion decourbe AQ, et soit « l’angle QPX que font entre ellesces coordonnées. Lorque AP croît de PP' = dx , l’aire4 APQ croît du trapèze PP'Q'Q, lequel est composé duparallélogramme QPP'm et du triangle QmQ', nousavons donc

dS = QPP'm + QmQ'

dS = ydx .sin u -j- dydx .sin *ou, simplement.

(b) . dS = ydx . sin *

en retranchant la quantité infiniment petite du secondordre dydx.sinu. Intégrant les deux membres de l’éga-lité ( b ), nous obtiendrons, pour le cas des coordonnéesobliques

II.S = sin a fydx + C

Soit maintenant l’aire APQ comprise entre l’axe PA,le rayon vecteur PQ = z et la portion de courbe AQ.Supposons que l’angle APQ = ^« du rayon vecteur avecl’axe croisse de l’angle infiniment petit QPP' = dp,l’aire APQ croîtra du triangle élémentaire PQQ', et lerayon vecteur PQ deviendra PQ' = z -f- dz. Le trian-gle élémentaire PQQ' est donc la différentielle de l’aireAPQ, mais la surface de ce triangle est égale à

^ PQ X PQ' X sin dp — ^ z (z + dz)df*

puisque sin dp = dp. Nous avons par conséquentdS = ^ z 1 dp -j- i z dzdpou

(c). dS = ^z'dp.

Intégrant les deux membres de cette égalité il vientIII.S = i J'z'dp + C.

3. Pour première application de l’expression géné-rale (I), prenons la parabole M'AM (PI 55, fig. 8) etcherchons la grandeur de l’aire AmQP, comprise entrel’axe, la courbe et l’ordonnée PQ = y. L’équation dela parabole étant y * = px (voy. Parabole) , nous entirons y=\/px, et substituant cette valeur de y dans (I),il vient

S — fdx.yjï -j- C.

Il s’agit donc d’intégrer dx . \/px ou \/p. xidx. L’iu-tégrale demandée est (voy. Intégrai., i\)

mais l’aire du parallélogramme QPP'm est égale auoduit des côtés PQ et PP' multiplié par le sinus de

Ÿ p J'x'dx =

x \/px