593

QU

QU

L’aire se réduisant à zéro lorsqu’on fait x = o , on aC =o.

J*(a*x')* dx= ax •

x 3

3*7

a.3a 2.4-5 -a 2.4.6.7 a 5

Comme \/px = y, nous pouvons poser

ce qui nous apprend que l’aire de l’espace paraboliqueAPQ est égale aux deux tiers du rectangle APQB con-struit entre les coordonnées. L’espace curviligne ÀwiOBest donc égal au tiers du même rectangle.

Si nous menons la droite AQ , nous aurons un trian-gle rectangle APQ qui sera la moitié du rectangle APQB,

et dont l’aire sera par conséquent égale à ^ x.y. Ainsi,

retranchant ce rectangle de l’aire AmQP , il nous res-tera pour l’aire du segment parabolique AQ m

l x.y -±x.y =\x. yi

— etc.

Cette quadrature indéfinie du cercle est due à Newton.

5. La quadrature de l’ellipse conduit comme celledu cercle à une série indéfinie qu’on obtient sans diffi-culté ; aussi nous ne nous y arrêterons pas. Nous remar-querons seulement que l’équation de l’ellipse rapportéeau centre étant ( voy . Ellipse 3.)

y = ^

sa quadrature dépend de

à 1 — x* ] dx ,

tandis que celle du cercle dont le rayon est a , c’est-à-dire égal au demi-grand axe de l’ellipse, dépend de

ce segment est donc la sixième partie du rectangleAPQB ou le quart de l’aire parabolique APQ.

4* L’équation du cercle rapportée au centre étant

J n \/{a' 1 —x\dx.

L’aire de l'ellipse est donc à celle du cercle comme

y* = a a — æ 1

dans laquelle a est le rayon, elle nous donne y =Y/[a* — •*’], et par suite (d)

^ J' \/[a’— x^dx est à J'\/[a , —x']dx ou comme

- est à 1. On a donca

s = —«’ifte + c.

En appliquant à cette expression les procédés d’inté-gration exposés au mot Intégral , 36, on obtient immé-diatement , parla formule marquée (38),

S = - * Y/a’ — -f- ^a’. arc £sin = -J-C.

Pour déterminer la constante C, remarquons que l’aireS est celle qui est comprise entre l’axe des ordonnéesED , l’abscisse AP , l’ordonnée PQ et l’arc DQ (PI. 55 ,fig. 9) ou l’aire DAPQ, elle est donc zéro lorsque x—o )ainsi C = o.

L’aire du quart de cercle DCA est donnée par l’ex-pression précédente en y faisant.* = AC = a ; elle est

aire de Vellipse = - X cercle = - a , ir=aàir.

6. La quadrature d’une hyperbole dont les demi-axesprincipaux sont a et à se ramène de la même manièreà celle de l’hyperbole équilatère dont le demi-axe esta , car les équations de ces courbes sont, en comptantles abscisses du sommet ,

y 1 = — (2a*+*’)> y* = iax-\-x x

et, par conséquent, leurs quadratures dépendent desexpressions

-f- x'\dx , / \/\iax + x']dx ;

S == jd 1 . jr,

4

car arc [sin = i] = - iz , n désignant toujours la de-mi-circonférence du cercle dont le rayon est l’unité.Lasurface entière du cercle est donc = a’jr, résultat conaupar la geometrie élémentaire, mais qui fait dépendrela quadrature du cercle delà rectification de la circon-férence , rectification impossible sous une forme finie.{Voy. Quadrat . du cercle.)

En intégrant l’expression (d) par série, on obtienttome u.

l’aire de l’hyperbole non équilatère peut donc se trou-ver en multipliant par - celle de l’hyperbole équila-tère. Quant à cette dernière, on ne peut l’obtenir quepar logarithmes ou par série ; par le premier procédéou a

J' v/[2 ax-\-x'\dx= ^ (a •+• x) {iax + x’)*

+ î a -, Log

CO