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et, par le second ,

QU

Qy/Y'iax-^x^dx

+

3x*

—-- — etc.4.6.9a 3

7. La quadrature de l’espace asymptotique comprisentre une branche d’hyperbole et son asymptote fournitdes particularités remarquables que nous devons signa-ler j soit CBD (PI. 55 , fig. 10) une hyperbole renferméeentre ses asymptotes AE , AF qui font entre elles un an-gle quelconque» , son équation rapportée aux. asympto-tes comme axes est

xy — e*

c*

{voy. Hyperbole, i5). Elle donne y = —, valeur qui,

étant mise dans l’expression (II), car ici les coordonnéessont obliques , fournit

S = c’.siu »

QU

S -- Logx,

c’est-à-dire que les aires asymptotiques sont, dans l’hy-perbole équilatère, les logarithmes naturels des abscissescorrespondantes. C’est de là que vient le nom de loga-rithmes hyperboliques donné aux logarithmes naturels.

On voit que chaque hyperbole non équilatère donneun système particulier de logarithmes dont le moduleest égal au sinus de l’angle des asymptotes. Le moduledes logarithmes ordinaires étant o, 434 2 945 , si l’on faitsin» = 0,4342945, on trouve que les asymptotes del’hyperbole, qui répond à ces logarithmes, font entreelles un angle de 25 ° 44' 2 5 ", 2.

8. L’équation aux asymptotes de l’hyperbole équila-tère devenant

xy = 1

lorsqu’on prend c = 1, si l’on remarque que chaqueabscisse AQ , AR , AS, etc. , est composée d’une partieconstante AP = 1 , on pourra remplacer x par 1 -f- x ,et cette équation sera alors

(»+*2r= 1 > d ’°« y — 1

d'où

S = c’ sin ». Log x + C.

Log désignant le logarithme naturel de x. Pour dé-terminer la constante C , supposons que l’aire à quarrersoit l’aire PQMB comprise entre l’ordonnée PB au som-met de la courbe et une autre ordonnée quelconqueQM, cette aire devant s’anéantir lorsqu’on fait x — AP,désignons AP parm et nous auions

o = c 2 sin ». Log m + C

d’ou

C = — c 1 sin ». Logoi

l’intégrale complète est donc

S = c 1 sin».Logx— c’ sin».Logw;

mais AP = PB = c j ainsi, prenant AP pour l’unité,cette dernière expression devieut

S = sin » .Logx.

Donc, en considérant sin * comme le module d’un sys -tème de logarithmes que nous désignerons parla carac-téristique L, comme nous avons sin». Logx = Lr {voy.Logarithme ) et par suite

S = Lx,

il en résulte que les espaces asymptotiques o, PQMB ,PRSfB, PSOB , etc., correspondant aux abscisses AP,AQ . AR , AS , etc., sont les logarithmes de ces abs-cisses. Dans le cas de l’hyperbole équilatère l’angle u desasymptotes est droit et sin » =: 1, on Q alors

substituant cette valeur dey dans (II), on aura

„ . P dx „ P dx

S x=sin» / —

J 1-

i-f x

ou S

/ dxi-f-x

à cause de sin» = 1.

Développant le binôme ( 1 +x)— 1 , on obtient

f[dx —xdx - j- x'dx — x 3 dx+ etc,..]

^e qui donne, eu intégrant

■vî m4 OsS

S = Log(i+x)=x— -+ 3 -— j'+ y — etc...

c’est la série de M. Mercator.

9. Les exemples que nous venons de donner indi-quent suffisamment la marche qu’il faut suivre pourla quadrature des surfaces planes j celle des surfacescourbes exige d’autres principes que nous allonsexposer. Considérons un solide mCE_y' formé par larévolution de l’aire MAx(y' autour de la droite BX,

B