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Qü

pendant que le plan deMAaty décrit le solide, la courbemÿ décritsa surface courbe latérale, et en particulier l’arcinfiniment petit yy' décrit la surface latérale d’un cônetronqué dont la hauteur est xx'= dx-, cette dernière est1 élément ou la différentielle de la surface convexe du so-lide. Or, la surface convexe d’un cône tronqué est égale àla moitié du produit desoncôtéparlasomnie des circon-férences de ses bases ( voy. Cône, 7). Ainsi celle ducône élémentaire tronqué dont il s’agit est égale à lamoitié de l’arc élémentaire^' multipliée parles circon-férences des cercles que décrivent les rayons xy elx'y'.Mais ces circonférences étant (xy). in, (x’y’).nt (voy.Cercle) si nous désignons par ds l’arc élémentairepar y l’ordonnée xy, par y-\-dy l’ordonnée x'y' et parS la surface convexe du solide, nous aurons

dS = - ds [y.1 7 : + (y-\-dy ). iti\

= lyvds

ou

if) . dS — ly^flx^dy^

en remplaçant l’arc élémentaire ds par son expressionen fonction des coordonnées rectangulai-res lhr = x, xy = y. (Voy. Rectification.)

L’intégrale de l’expression (/)

IV.S =-air fyVldx'+dy'} + G

donne la quadrature de toutes les surfaces de révolution.

10. Pour montrer l’application de la formule IV,supposons que la courbe my est une parabole et qu’onveuille trouver l’aire de la surface convexe du parabo-loïde tronqué myDC. L’équation de la parabolej'^pxdonne

4 y'dy*

dx

■jyay

, dx 1 =

z » 1

,[ 4 r’ + p 2 ]’

+ C.

QU

et, par suite,

En donnant a y une valeur déterminée b, on aura lasurface convexe d’un tronc de paraboloïde compris en-tre y= a et y = b. Si l’on avait demandé la surface duparaboloïde entier qui commence à y — o , commel’intégrale doit s’évanouir pour cetie valeur dey, on au-rait eu

o = + c i d ’ oil C = — g P 1 -

Ainsi la surface convexe du paraboloïde est

s=ij[<r+ P f -F>\

11. La surrace de la sphère étant engendrée par larévolution delà demi-circonférence d’un de ses grandscercles autour de son diamètre , prenons l’équation ducercle rapportée au sommet qui est

y % — lax — **

cette équation fournit

, ladx —2 xdx (a — x)dxd? = —~ — =—j—

. (a—xYdx*

substituant cette valeur dans (IV), il vient

(a— x)*dx*

o.tsJ' y \y\dx*

cette valeur substituée dans (IV) réduit cette formule à

rdr\/ 4J-+I>■

La constante C se détermine, en remarquant que l’aire l’on a simplementdemandée commence à l’ordonnée A m , et par consé-quent que 1 intégrale doit s’évanouir quand on y fait.y= a, en désignant km par a , on a donc

= 2 ir J* dx\'[y' +(a—x) 1 ] = ir.fadxà cause de

y ^.(a—x)' = y'f-a'—iax-fx' —y'fa' —y'— a*.Nous avons donc

S = lit ax + C.

Cojnme l’origine des coordonnées au sommet, 1 inté-grale doit s’évanouir lorsque x = o , ainsi C = o, et

2* ax.

d’où

’ =ÿ[ 4 “’+' , f +c

Pour avoir la surface entière de la sphère , il faut laprendre depuis x = o jusqu’à x = 2a; faisant danscette dernière expression x = ia, il vient

S = 4 a’w,