mn
396 QU
QU
s’est-à-dire que la surface totale de la sphère est égale àquatre fois celle d’un de ses grands cercles.
12. La formule IV n’étant applicable qu’aux solidesde révolution, il faut pour tous les autres déterminerl’expression particulière de Vélément de leur surface ,ce qui exige des méthodes dont l’exposition ne peuttrouver place ici. Nous allons seulement indiquer, pourterminer, comment on obtient l’élément de la surfacedu cône oblique
Soit ASB un cône oblique , dont SE est la hauteur(PI. 55, fig. 11). Par le centre C de la base de ce cône,faisons passer un plan SAE, qui la coupe suivant un deses diamètres AB; prenons un arc infiniment petit mn,et menons sur la surface du cône les di oites S m et S n, letriangle S/nn sera l 'élément de la surface. Menons deplus la tangente T m , que nous prolongerons sur leplan delà base de manière à pouvoir lui abaisser uneperpendiculaire SD du sommet S. Cette perpendicu-laire sera la hauteur du triangle élémentaire S mn etl’aire de ce triangle sera (m),
dS = ^ mn X SD.
Menons les autres lignes de la figure et désignons par ale rayon AC de la base ; faisons de plus CE = b , SE =a , CP = x , et P ni = y. L’angle CmT étant droit, etP/7i une perpendiculaire abaissée du sommet de cetongle sur l'hvpothénuse TC du triangle T/nC, nousavons
CP : Cm : : Cm : CT
d’où
r CmCT = CP = x ’
mais les triangles semblables TmC , TDE
CT : Cm : : TE : ED ,ou
- : « ED = *+ bx .
y' • _
Donc le triangle rectangle SED nous donne
SD = V / [‘' + ( £ ± i -)'].
adx
d 1
donc, définitivement,
- - oty/K mi
Tel est l ’élément de la surface du cône oblique.
QUADRATURE DU CERCLE. {Gcom.) Aucunproblème géométrique n’est plus célèbre et plus popu-laire que celui de la quadrature du cercle ; les tentati-ves innombrables dont il a été l’objet, les folies aux-quelles il a donné lieu, l’importance outrée qu’on luia attribuée, tout concourt à donner un grand intérêt àson histoire ; aussi l’historien des mathématiques ,Montucla , ne s’est pas contenté d’en faire le sujet d’unsupplément à son grand onvrage, il l’a encore traitéen particulier, et son Histoire des recherches sur laquadrature du cercle n’est pas le moins curieux ni lemoins utile de ses travaux.
Quarrer le cercle c’est trouver le côté d’un carré quilui soit égal en surface, ce qui ne présenterait aucunedifficulté si l’on pouvait décrire géométriquement,c’est-à-dire, avec la règle et le compas, une lignedroite égale à sa circonférence; car il est démontréque la surface du cercle est équivalente à celle d’untriangle rectangle qui aurait pour base cette ligne droiteet pour hauteur le rayon , et comme le côté d’un carrééquivalent à un triangle est moyen proportionnel en-tre la moitié de la base et la hauteur du triangle, ils’ensuit que le problème se réduit à trouver la gran-deur de la circonférence d'un cercle dont le rayon estdonné, ou, plus généralement, à trouver le rapport duayon ou du diamètre à la circonférence , puisque ceapport est le même dans tous les cercles.
Archimède est le premier géomètre qui ait fait con-naître une valeur approchée de ce rapport, ou du moinsil est le premier qui ait trouvé deux limites entre les-quelles ce rapport est contenu. Ayant inscrit et circon-scrit au cercle un polygone de 96 côtés, il montra quela circonférence étant plus petite que le périmètre dupolygone circonscrit et plus grande que celui du poly-gone inscrit, cette circonférence devait être plus pe-tite que 3 et — et plus grande que 3 et — , le diamè-7° 71
Nous avons d’autre part l’arc élémentaire mn , dontl’expression générale est \/dx 1 + dy 1 , et comme ils’agit ici d’un arc de cercle, prenons la valeur de dy %dan» l’équation rapportée an centre
y' «■= a' —
nous aurons, en la substituant dans cette expression,