QU

de n3 i 355 qui est beaucoup plus rapproché que ce-lui de 7 à 22, puisqu’il ne dépasse le véritable que de

3

iooooooo diamètre au plus.Nous avons déjà dit au

mot Cercle que le rayon étant pris pour Vunité, la demi-circonfcrence est exprimée par 3, i4i5g26535... etc.,approximation portée jusqu’à i55 décimales exactes,ce qui dépasse de beaucoup tous les besoins du calculqui, dans les recherches les plus délicates, peut secontenter de io décimales. On peut donc regarderierapport du rayon à la demi-circonférence comme unequantité connue, et même beaucoup plus exactementconnue que bien d’autres dont on fait un usage jour-nalier; car personne ne s’est amusé à calculer y/2, parexemple, jusqu’à la 155 e décimale.

Lambert, dans les Mémoires de Berlin , 1761, et aprèslui, Legendre, dans ses Elémens de géométrie , ontdémontré que la circonférence est incommensurableavec le diamètre, ce qui établit l’impossibilité absoluede trouver deux nombres entiers qui puissent exprimerleur rapport, nombres, du reste, dont la découverte,si elle était possible, ne présenterait qu’un simple inté-rêt de curiosité. Il reste donc seulement à savoir si l’onne pourrait exprimer ce rapport soit par un nombreirrationnel simple, soit par une combinaison de nom>bres irrationnels, et, dans ce dernier cas, s’il ne seraitpas possible d’en effectuer la construction géométrique,car des nombres irrationnels peuvent très-bien se con-struire géométriquement tant qu’ils ne dépassent pas lesecond degré. Ainsi, le rayon étant l’unité, en dési-gnant, comme c’est l’usage, par n la demi-circonfé-rence , il s’agit de déterminer la nature ou l’expressionthéorique du nombre ir; mais nous avons déjà vu(Cercle , 34) que cette expression théorique primitiveest

l w== —=j( i +\/- O 30 —(1—v~) co !’

donc les radicaux qui entrent dans la génération de cenombre sont d’un ordre infini , et il ne peut être, parconséquent, réalisé dans le domaine des objets sensiblespar aucune construction numérique ou géométriquefinie.

L’erreur principale de ceux qui se livrent à la recher-che de la quadrature du cercle, et il y a encore beau-coup plus de gens qui s’en occupent qu’on ne pourraitle croire, c est de supposer qu’il doit nécessairementexister une ligne droite égalé en longueur à toute lignecourbe donnée, ce qui n’est pas plus vrai que de sup-poser qu’il existe nécessairement un nombre entier oufractionnaire égal à une racine de tout nombre donné. Eneffet, la conception d’une ligne courbe repose en principesur une génération continue de l’espace, de la même ma-

QU 397

nière que celle d’une racine repose sur une générationcontinue des nombres, tandis que les conceptions d’uneligne droite et d’un nombre entier reposent sur unegénération discontinue. Ainsi, et comme à l’exceptiondes cas particuliers et contingens où la racine générale

m

y/A est un nombre entier, cette racine est un nombred’une nature supérieure qui sort entièrement de laclasse des nombres entiers et ne peut être exprimée pareux, à l’exception du très-petit nombre de lignes cour-bes rectifiables (vqy. Rectification), c’est-à-dire quisont égales à des lignes droites ; la ligne courbe en gé-néral est d’une nature supérieure ou transcendante quisort entièrement de la classe des lignes droites et qui nepeut être représentée par elles. La génération conti-nue des lignes courbes se manifeste surtout dans lescourbes rentrantes en elles-mêmes et particulièrementdans le cercle où cette continuité indéfinie de généra-tion est au plus haut degré. Cet aperçu, au défaut del’expression citée plus haut de ir, qui décide complète-ment la question, est suffisant pour montrer l’inutilitéde toutes recherches ultérieures sur la quadrature ducercle, problème résolu aujourd’hui de toutes les ma-nières possibles et sur lequel ne peuvent plus s’exercerdésormais que des personnes entièrement étrangères àla géométrie.

QUADRATURE. (Ast.) On donne ce nom aux pointsde l’orbite d’une planète qui sont à égale distance deceux de la conjonction et de l’opposition. Par exemplela lune est dans les quadratures, lorsqu’elle se trouvedans l’une des deux positions MAQZ (PI. 28, fig. 8)également éloignées de la conjonction O et de l’opposi-tion L. {F~oy. Lune.)

QUADRILATÈRE. ( Geom .) Polygone de quatrecôtés et de quatre angles.

On nomme en particulier quarré le quadrilatèredont les quatre côtés sont égaux et les quatre anglesdroits; rectangle, celui dont les quatre angles sontdroits, sans que les côtés soient égaux ; lozange ourhombe, celui dont les côtes sont égaux sans que les an-gles soient droits ; parallélogramme, celui dont les côtésopposés sont parallèles ; et enfin trapèze , celui qui n’aque deux côtés parallèles. ( Voy . ces divers mots.)

Dans tout quadrilatère la somme des quatre angles estégale à quatre angles droits. Ceux dont la somme desangles opposés est égale à deux angles droits peuventêtre inscrits dans le cercle , et la somme du rectangleconstruit entre leurs côtés opposés est équivalente aurectangle des deux diagonales.

QUADRILLON. (Arith .) Mille trillons . ( Voy. Au*

THMÉTIQUE, l6.)