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d un cinquième d un grand cercle de la sphère céleste, plus grande qu’une autre. Ainsi 3 o est quintuple de 6.(Voy. Aspect.)

< QUOTIENT. ( Arith .) Résultat de la division d’un

QUINTUPLE. {Arith.) Se dit d’une quantité cinq fois nombre par un autre. {Voy. Division.)

RACINE . (Alg.) Base d’une puissance, ou nombrequi successivement multiplié par lui-même produit unepuissance. Si A, par exemple, multiplié par lui-mêmeun certain nombre de fois produit B, A sera la racinede B, et nommément la racine seconde dans le cas deA X A = B ; la racine troisième dans le cas de AXAX A == B, et en général la racine ni iime dans le casde A" 1 = B.

On désigne une racine par le signe \/ qu’on nommeun radical, en mettant à sa partie supérieure le nom-bre qui indique le degré de la racine et qu’on nomme

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l 'exposant ; par exemple \/B désigne la racine troi-sième de B. Lorsqu’il s’agit de racines secondes ou car-rées , on n’écrit pas l’exposant qui est sous-entendu,de sorte que \/B signifie racine carrée de B.

L’opération par laquelle on trouve la racine d’unequantité proposée se nomme extraction des racines.(Voy. ce mot. Voy. aussi, pour la nature des racinesen général, Algèbre, 28, et Imaginaire.)

Racines des équations. On donne encore le nom deracines aux valeurs des quantités inconnues qui entrentdans les équations. Par exemple l’équation

x 2 — 5x-f6 = o

admettant les valeurs x=aetx=3,2et 3 sont sesracines.

Nous avons vu (Équation, 16) qu’une équation ad-met autant de racines différentes qu’il y a d’unités dansle nombre qui marque son degré.

On divise les racines des équations en deux classes,celle des racines réelles et celle des racines imaginai-res. Les racines réelles sont commensurables ou incom-mensurables j dans le premier cas, on peut obtenir leursvaleurs par la méthode dite des racines commensura-bles ; dans le second cas, il faut avoir recours aux mé-thodes d approximation, sauf les cas très-peu nombreuxoù il est possible d’avoir directement l’expressionthéorique des racines. Nous allons indiquer les diversprocédés à l’aide desquels on trouve les valeurs desracines d’une équation.

1 . Racines commensurables. Dans toute équation àune seule inconnue, le terme absolu, c’est-à-dire celui quine contient pas l’inconnue, étant égal au produit de tou-tes les racines (voy. Equation , 17), est exactement divi-sible par chacune de ces racines. Ainsi. lorsqu’une ouTous n.

R.

plusieurs de ces racines sont des nombres entiers, onpourra toujours obtenir leurs valeurs en cherchant,parmi tous les diviseurs exacts du terme absolu , quelssont ceux qui satisfont à l’équation. Dans l’équation ci-dessus

x* — 5 x -j- 6 = o

le terme absolu 6 a pour diviseurs 1, 2, 3 , 6, et il estfacile de voir, en substituant successivement chacunde ces nombres à la place de x, soit avec le signe -j-,soit avec le signe —, que les deux diviseurs -j- 2 et-j- 3 sont les racines de cette opération.

Lorsque le terme absolu contient un très-grand nom-bre de diviseurs, ces substitutions entraînent des cal-culs prolixes qu’on abrège, d’abord en n’essayant queceux des diviseurs qui se trouvent compris entre les li-mites des racines, et ensuite en faisant usage, au lieudes substitutions successives , d’un procédé dont nousallons faire connaître les principes,a. Soit l’équation générale

x m + kx m ~ 1 -j- Bx" 1- » -j- etc... -j- Px 3 -j- Qx»+ Rx -f- S — o.

a étant un nombre entier positif ou négatif, s’il est uneraciue de cette équation, en le substituaut à la placede x, on doit avoir

A a™-' -j- B a'»-» -f- etc... -j- Pa 3 + Q a*-}- Ru -j- S = 0.

D’où, en divisant le tout par a et transposantc

- = —A m ~ 1 —Aa“-i—B« m — 3 etc.... — Pa 1 —Qa—R

CL

Transposant R dans le premier membre, et divisant denouveau le tout par a , il vient

- +R

a _ ___ a m- 7 —Aa™— 3 —Ba m - 4 —etc..—Pa—Q

a

et comme le second membre est nécessairement unnombre entier, le premier l’est aussi. Transposant Qdans le premier membre et divisant encore le toutpar a , nous aurons

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