RA

RA

3) 15 18 0 5 3 2 1- 1- 2— 3- 5— 6-10—15-30

4«â

+ B

—HQ

. — — a m — 3—A«">-4—Ba m — 5 —etc.. —P

et le premier memDre sera encore un nombre entier.Continuant de la même manière, c’est-à-dire transpo-sant successivement tous les termes du second membredans le premier, et divisant par a après chaque trans-position, le résultat de la (m —i) ‘'““division sera dela forme

1 2 3 5 6 10 15 30—30—13—10— 6— 5— 3- 2- 1

On ajoutera ensuite à chacun de ces quotiens le co ffi-cient — 11 de x , ce qui formera une troisième l guc

—10 -9— 8-6-5— 1+ H+19-41-2G-21-17-16—14-13-12

dont on divisera chaque nombre par le diviseur auqu lil correspond ; ces divisions forment cette ligne de quo-tiens

• » » —1—1 »+ 2 « «+13+ 7 » » » » »

a

et celui de la m' tmt deviendra

Cette dernière égalité nous indique la dernière condi-tion à laquelle il faut que a satisfasse pour qu’il soitracine de l’équation.

Ainsi en remarquant que toutes les divisions doiventpouvoir s’effectuer exactement, si a est une racine del’équation, on peut en conclure cette règle générale.

3. Pour reconnaître si un diviseur a du dernier termed’une équation est racine de cette équation , il faut,après avoir divisé le dernier terme par ce nombre ,ajouter au quotient le coefficient de x , diviser ensuitela somme par a, ajouter au nouveau quotient qui doitêtre un nombre entier le coefficient de x 1 et diviser lanouvelle somme par a ; ajouter encore à ce dernierquotient le coefficient de a : 1 et diviser la somme para , etc., etc. Continuer ainsi jusqu’au coefficient dex"'— 1 qui, étant ajouté au dernier quotient, doit pro-duire une somme , laquelle divisée par a doit donner— i pour quotient. Tout nombre qui satisfera à cesconditions réunies, c’est-à-dire qui donnera à chaquedivision un quotient entier, sera racine de l’équation,et ceux qui manqueront à une seule de ces conditionsne pourront être des racines.

' 4. Dans l’application de cette méthode il faut remar-quer que lorsqu’il manque des termes à l’équation surlaquelle on opère, il faut les remplacer en leur don-nant zéro pour coefficient.

5. Prenons pour exemple l’équation

x 3 — 4a: 1 — 1 ix + 3 o = o.

Les diviseurs de 3o étant i, a, 3, 5, 6 , io, i5, 3o, on lesécrira sur une même ligne horizontale tant avec le signeT qu’avec le signe — , puis au-dessous de ces divi-seurs on écrira les quotiens du dernier terme 3 o, divisépar chacun d eux , ainsi qu’il suit :

dans laquelle on n’écrira que les quotiens entiers, tousles autres devant être abandonnés. Enfin , on ajouteraà ces quotiens le coefficient — 4 de x ', ce qui formeraune cinquièmclignc

» » »—5—5 »— 2 » »+ 9+ 3 » » » » •

dont on divisera tous les nombres par les diviseurscorrespondans, en abandonnant de nouveau ceuxqui ne peuvent être divisés exactement; ces derniersquotiens

» B B 8—1 B— 1 B B B— 1b » » » B

nous apprennent que les racines de l’équation sont — 3,-f 2 et + 5.

6 . On peut toujours se dispenser de faire entrer lesdiviseurs + i et — i dans le calcul général, car leursubstitution à la place de x dans l'équation réduisantle premier membre à la suite des coefficieus, il suffitd’une simple addition pour s’assurer directement si cesdeux nombres sont racines de l’équation. Dans l’équa-tion que nous venons de traiter, en faisant x = i, ilvient

i —4— n +3 q= iG

et, en faisant x — — i ,

— i — 4 -f- 11 -j" 3o — 3G ,

d’oùl’on voit immédiatement que ni l’un ni l’autre deces uombres“ne satisfait à l’équation.

7 . Traitons maintenant l’équation

•r 4 + 5x 3 — 3x* — 35x — 28 = 0 ;la substitution de -f -1 et de — 1 à la place de x donne

i + 5 — 3 — 35 — 28 = — 571 — 5-3-J-35 — 28 = 0;

d’où l’on voit que — 1 est une racine. Mais alors au lieud’appliquer laméthodeà l’équation proposée, il devientplus simple de l’abaisser d’un degré, au moyen de laracine connue; car puisque x — — 1 , x + 1 est undiviseur de cette équation, et eu opérant la division, onaura pour quotient l’équation du troisième degré qui