RA
RA
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contient les trois autres racines de la proposée. Ce rjuo- posant dans le second membre, à l'exception du pre*tient donne mier terme, on obtiendrait
x 3 -)- — 7 x — 28 = o.
Essayant d’abord -}- 1 et — 1 , on trouve
1 4 — 7 — 28 = — 3 o
— 1 + 4 + 7 — 28= — 18
donc aucun de ces nombres n’est racine. Or, les autresdiviseurs de 28 étant 2 , 4,7,4, 28 , on exécuterales calculs dont voici le tableau :
28,
i 4 ,
7 ,
4, 2 > 2, 4,
•7 —
14,— 28
—
■ 2,—
4 -
7 >—* 4 , + 1 4 -+ 7 >+ 4 ,+
2,4- 1
~~ 8 ,-
- 9 —
n>—
' 4 ,+21,+ 7 , 0,-
3 ,-
5 ,— 6
»,
»,
»,
», », », 0,
»,
», »
>,
»,
», », »,+ 4 ,
»,
», ))
»,
»,
»,
», », »,— 1,
»,
», »
Il en résulte qu’il n’existe qu’une seule racine commen-surable x =— 4- Nous devons faire remarquer en pas-sant qu’on doit toujours considérer o comme un nombredont le quotient entier est o, quel que soit le diviseur.
Connaissant la racine ■— 4 , si l’on divise l’équationdu troisième degré par x + 4 , °n obtiendra l’équationdu second degré qui renferme les deux autres racinesde la proposée ; cette équation est
€l m -, M
— =— — Ba m — 3 — etc... — Ra — a
et comme
a
b
est une fraction et que par conséquent
a m
T
est aussi une fraction, le second membre de cette égalitédevrait être également une fraction, ce qui est impossi-ble, si les coefficiens A, B, C, etc. , sont des nombresentiers.
9. Il s’agit donc de ramener toute équation, à coeffi-ciens fractionnaires, à la forme en question , ce qui neprésente aucune difficulté. Soit, pour fixer les idées, l’é-quation du 4 e degré
a
b
* 4 + ^ + - r x * + f
f
X +k
o.
On divisera d’abord toute l’équation par le coefficientde x$, ce qui la ramènera à la forme
, , cb , , eb . gb bi
x + Td* + »r x + ^ X + =
a J-
puis en réduisant toutes 1rs fractions au même déno-minateur, on obtiendra
cbjhkad/hk '
xi + 7,77771 x3
i ehdhk , gbdjk ^ , bidfh
' adjhk X ‘ adfhk X adfhk
x 1 — 7 =0
dont les racines sont x = + \/7 et x = — \Z r j ; ainsiles 4 racines de la proposée sont x = — x — — 4 ,x = -f- y/7, x = — V?7 et cette équation est la mêmechose que le produit
(x+i)(x+4) (x+Vl) (x-Vl) = o
ou , simplement (a)
a; 4 + — x 3 4 - — x 2 -f- —
1 m 1 m 1 m
x A -= o.
m
Prenant maintenant une nouvelle inconnue .y et faisantx = —, on trouvera, en substituant,
8 - Pou »' appliquer la méthode des racines commen-surables à toute équation proposée, il faut préalablementla ramener à la forme
X”‘ -f Axm—i 4. 4. etc’... -fRr+S = o
dans laquelle la plus haute puissance x m a l’unité pourcoefficient, et tous les autres eoelficicns A, B, C, etc. ,sont des nombres entiers, y compris zéro; car, sous cettefoi me, les racines commensurablcs de l’équation ne
peuvent êtie que des nombres entiers. En effet, s’il exi-stait une fi action ^ qui put être rac ; ne ,j e cc tt e équa-tion , en la substituant à la place de x, on aurait
a m
“_l-
b"‘ “
1 Qtn—1 n
7 + B T7T-, + etc... + R 7 +S=f 0 .
Ainsi, multipliant tou« les termes par b™— > et les trans-
II +L
niA ' m
£ JL. 1
m 3 ' m
il 4. £ . I 4-i = 0m 2 m m 1 m
puis, en divisant le tout par mAi 4 n. i ))4
s 1 P‘ m î 1
y 4 4 - ---, y 5 - 4 “
J 1 m.m 3 m.m
r. m 4
-Y 1 A - Y 4-
* J 1 m 11? '
s . m 4
équation dont tous les coefficiens sont visiblement desnombres entiers , et qui donne, en retranchant les fac-teurs communs ( b)
_y4 4- py* 4- q.my 3 4" r.my 4* s.m 3 = o
chacune des racines de cette dernière, divisée par m,donnera une des racines de la proposée.
10. En examinant l’équation (a) et sa transformée (b),on voit qu’011 peut immédiatement passer de l’une àl’autre en multipliant le second terme de (a) par le dé-