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nominateur commun ni , le troisième par ni 1 , le qua-trième par m 3 et le cinquième par ni*; d’où l’on peutconclure cette règle générale.

Après avoirfait disparaître le coefficient du premierternie et réduit tous les autres coefficiens au même dé-nominateur, on multipliera chaque terme parce déno-minateur commun élevé a une puissance dont l’expo-sant est le nombre des termes précédens, puis on chan-gera x en y, et les racines de U équation en y divisées parIm dénominateur commun seront celles de la proposée.11. Appliquons cette règle à l’équation

3a: 4 - |r 3 -)- qx 1 — qx -}- 2 = o,

divisant tout par 3 et réduisant ensuite au même dé-nominateur, il vient

mite supérieure des racines positives, car sa substitu-tion donnant pour résultat un nombre positif, et lasubstitution de tout autre nombre plus grand donnant,à plus forte raison, un résultat positif, il ne peut yavoir aucune racine positive qui le surpasse. Or, pourtrouver un nombre capable de rendre le premier termed’une équation plus grand que la somme de tous lesautres , prenons le cas le plus défavorable , celui oùtous les termes à partir du second sont négatifs,comme

x m — kx m ~i— Bx'"-*— etc...—Qx 1 — R a: — S =o,

et cherchons quel est le nombre qui, mis à la place de x,peut donner

x"*> Ax m ~ l -f-Bx m - J -f- etc... -f- Qx J -f-Rx— S.

- b + , tr*’-if* + ë ==0

multipliant le second terme par 6, le troisième par 36,le quatrième par 216 , et le cinquième par 1096, ou ,ce qui revient au même et ce qui est plus simple , re-tranchant le dénominateur commun 6, et multipliant lesecond terme par 1, le troisième par 6, le quatrièmepar 36 et le cinquième par 216, la transformée en ysera

j 4 — 7 y 3 -j- 84 y 1 — 5o4 y + 864 = o

Pour traiter cette dernière par la méthode des racinescommensurables, substituons d’abord -{- 1 et — 1 , cequi donne

, _ 7 -f 84 — 5o4 + 864 = 438

1 + 7 -f 84 + 5o4 + 864 = i46o

Ainsi ni -j- 1 , ni — 1 ne sont racines de cette équa-tion. Les autres diviseurs de 864 étant 2,3, 4> 6, 8,12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 54, 72, 96, 108, 144, 216,

288, 432, 864 , pour éviter les calculs inutiles il faut

^ n’essayer que ceux de ces nombres qui ne dépassent pasles limites des racines tant positives que négatives jlimites que nous allons apprendre à déterminer.

12. On nomme limite supérieure des racines positivesd’une équation tout nombre positif qui surpasse la plusgrande des racines positives de cette équation, commeaussi on nomme limite supérieure des racines négativestout nombre qui surpasse la plus grande des racines né-gatives. Une limite supérieure est donc susceptible d’uneinfinité de valeurs, et la question est de trouver la pluspetite possible de ces valeurs.

U est d’abord évident que tout nombre qui, mis à laplace de * dans une équation, rend son premier termeplus grand que la somme de tous les autres , est une li-

Si nous désignons par M le plus grand de tous les coef-ficiens, il est visible que tout nombre substitué à x ,qui pourrait satisfaire à l’inégalité ( l)

x'"> Mx">- J -f- etc... + Mx 1 Mx -f- M

satisferait, à plus forte raison, à l’inégalité proposée :ainsi occupons-nous d’abord de cette dernière.

Les termes du second membre de l'inégalité ( t) for-ment une progression géométrique dont M peut êtreconsidéré comme le premier terme , x le rapport etm le nombre des termes ; on a donc, pour leur somme(voy. Prog. géom. , 7), l’expression

M(x m — 1)

x— 1 ’

et par conséquent l'inégalité (t) peut être mise sous laforme

x m > M

x m — ,

■x — i

Si nous faisous x = M, le premier membre devientM"* et le second

„„ M m —1 M m +‘—1

M . -, cm

M—1 ’

M—1

quantité plus grande que M’", car en effectuant la di-vision, on trouve

M'"-H —iM—1

M" 1 -f-M™-f etc..,

Mais en faisant x — M -j- 1, ce second membre devient

=(M+ .)«-■

et comme le premier est alors (M -f- i) m , on a évidem-ment

(M -J-1 )"• ;> (M -1-1)" 1 —■ 1.