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RA

Ainsi, M 4-i, ou le plus grand coefficient négatifaugmenté de l’unité, substitué à la place de x , rend lepremier terme de l’équation plus grand que la sommede tous les autres • ce plus grand coefficient ainsi aug-menté est donc une limite supérieure des racines positi-ves de l’équation.

i3. Gomme il est rare qu’une équation ne renfermepas quelques termes positifs autres que le premier, lalimite que nous venons de trouver est ordinairementbeaucoup trop grande, et l’on doit s’attacher à la dimi-nuer le plus possible. Soit

i—j——■—{— etc... — Mx"'- n — Nx" 1 -»-'—etc... — Qx—S=o

nue équation dont les premiers termes sont positifs, etdont le premier des termes négatifs Mx m—n est celui durang n-f- 1 ; supposons que tous les autres termes sontnégatifs, et de plus qu’ils aient tous le plus grand coeffi-cient M , alors tout nombre qui mis pour x rendra

x« > Mx"‘—" -f- Mx"‘— 1 -j- etc... -f- Mx + M

fendra à plus forte raison x m plus grand que la sommede tous les autres termes de la proposée. Nous pouvonsdonner à cette inégalité la forme

x m fi M.

%m—n -f-j

X — I

I

en prenant la somme des termes de son second membre.Or, eu posant

x n = M , d’où x = \/M = M'

M' substitué à la place de x ne peut satisfaire à l’inéga-lité, mais M'-j- t y satisfait, car le premier membredevient (M'-|-i) m ou (v/M-j-i )"*, tandis que le seconddevient

= M '"" 1 [( M ’+

ce qu on peut mettre sous la forme

+ I ) m - M ' n- '

quantité évidemment plus petite que (M’-f-i) m .

1 n

Donc t/M-f -1 , c’est-à-dire la racine du plus grandcoefficient négatif du degré marqué par le nombre destermes qui précèdent le premier terme négatif, est, enVaugmentant de l unité, une limite supérieure des ra-cines positives de l’équation.

Lorsque le second terme de l’équation est négatif, ilfaut faire B = i , et l’on retombe sur la limite obtenue

n

précédemment. On prend toujours pour \/M le nombreentier le plus près de la racine.

14. Quant aux limites supérieures des racines négati-ves, comme on rend négatives les racines positives d’uneéquation et vice versa , en y substituant — x à la placede x , il faut, après avoir fait cette substitution danstoute équation proposée , déterminer, par les moyensque nous venons d’exposer, la limite supérieure escines positives de la transformée ; cette limite prise avecle signe — sera une limite des racines négatives de laproposée.

1 5. Appliquons cette théorie à l’équation du n° n.

y 4 — 7 y i + — 5o4 y + 864 = o.

Le second terme étant négatif, la limite supérieure desracines positives est le plus grand coefficient négatif 5o4augmenté de l’unité , de sorte que nous sommes forcésici d’essayer tous les diviseurs plus petits que 5o5, c’est,à-dire tous les diviseurs de 864 moins un seul, 864 1 “*'même. Substituant — y à y , la proposée devient

y 4 4- t y 3 -f- 847 1 + 5o4.y + 864 = o,

équation qui n’a aucun terme négatif, et dont par con-séquent la limite des racines positives est zéro, car en ysubstituant zéro ou tout autre nombre plus grand à laplace dey, on obtient toujours un i ésultat positif, cequi indique qu’il n’v a pas de racines positives , et par-conséquent que la proposée n’a pas de racines négatives.D’après la règle de Descartes (voy. Signe) , l’inspec-tion seule de la variation des sigues-J- et— i dans lestermes de la proposée suffirait pour faire reconnaîtrel’absence des racines négatives. Ces considérations ré-duisent à 20 le nombre des diviseurs qu’il faut essayer,mais ce nombre est encore assez grand pour faire dési-rer un procédé d’exclusion à l’aide duquel on puisse lediminuer. En voici un liés simple dû à Newton.

i Substituez successivement -f- i et — i à la placede X dans la proposée , ce qui vous donnera deux ré-sultats. Nous les désignerons, le premier par P et le se-cond par Q.

Tout diviseur qui, diminué de l’unité, ne divise pasP et qui, augmenté de l’unité, ne divise pas Q, ne peut-être racine de l’équation.

Si la réciproque de cette proposition était vraie, c’est-à-dire si tout diviseur qui satisfait à ces conditions étaitpar cela seul une racine , on aurait un procédé aussiprompt que simple pour reconnaître les racines com-mensurables ; mais il n’en est pas ainsi, et tout ce quel’on peut demander à cette règle, c’est de faire connaîtreles diviseurs qui ne peuvent être des racines ; il fautensuite soumettre les autres à la méthode indiquée.

Cette règle est fondée sur ce que a, étant une racinede l’équation générale

x« -j- Ax'”-i -f Bx»-» 4 . e tc... -f Rx 4- S = o