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son premier membre est exactement divisible parx— a,ce qui donne l’identité

x m —j— Kx m 1 —f— Bx m 2 —etc... -J- Rx-J-S= (x—a) (x m —i-f- A'x m - 2 + etc., -f- S')

A', B', etc., étant des nombres entiers. Or, comme cetteidentité est indépendante de tonte valeur particulière dex, si l’on y fait x = i , on doit avoir encore

i —f—A—|—B—}—etc... -J-R-J-S = (i— a) (i-|-A'4-etc...--|-S')

d’où

y 3 t

et comme x = -, - et ^ sont deux raciues de l’é-6 6 6

quation proposée en x.

Pour obtenir les autres racines, divisons l’équation en/par^—3 , et ensuite par y —4 , ou immédiatementpar (y— 3) (y —4) = — W + '2;on obtient l’é-

quation

y 1 -V 7 2 = o

qui fournit les deux racines imaginaires y =-4- y/—72,y= — \/—72. Les quatre racines de la proposée en xsont donc définitivement

1 +A+B+ etc„ . +R+ S = e(Ci , i + s

i —a 11 -

- , oc ^=\ , x ■= + \/— 2, x = — \/ — y,.

3 «3

Ainsi, puisque le second membre de cette égalité estun nombre entier, il doit en être autant du premier, et1 -j~ A -f- B -j- etc... -|- R -f- S doit être exactementdivisible par 1 — a ou par a — 1 , en changeant lessignes.

En substituant — 1 à la place de x, on verrait'demême que le résultat est exactement divisible par — t— a , ou para-j- 1 ; d’où il résulte la règle précédente.

16. Nous avons vu (11) que la substitution de -)- 1dans l’équation qui nous occupe donne pour résultat438 , et que celle de — 1 donne 1460, le premier étantle plus petit ; nous nous en servirons d’abord et nousle diviserons successivement par 2 — 1, 3 — 1,4 — 1 ,6—1, etc. .. jusqu’à 216 — 1 seulement; car il estévident que les autres diviseurs de 864, savoir, 288et 43s, se trouvent tout naturellement exclus. En opé-rant ces divisions, on trouve que les seuls nombres 2—1,3— 1 et 4 — t divisent exactement 438 ; ainsi tous lesdiviseurs autres que 2, 3 et 4 se trouvent déjà exclus :mais ceux qui nous restent doivent encore, en les aug-mentant de l’unité , diviser exactement 1460 ; opérantdonc ces divisions et rejetant les nombres qui ne don-nent pas des quotiens exacts , il ne nous reste définiti-vement que les facteurs 3 et 4 auxquels il faut appli-quer la méthode indiquée n° 3. Voici le calcul :

+ 3, + 4

-f- 288, -{- 216

— 216, — 288

— 72, — 72

+ 12, + 13

-f 4, + 3

- 3,-4

I, — I

3 et 4 sont donc tous deux racines de Téquation en y,

17. O11 peut immédiatement appliquer les méthodesprécédentes aux équations de la forme

Px m -f- Qx'"— 1 -f- Rx»>—> -j-etc...Ux-)-V=c.o

lorsque P, Q , R, etc. sont des nombres entiers , sansavoir besoin de faire disparaître le coeffi. ient P du pre-mier terme Px m ; il faut seulement observer que dausl’opération sur ’cs diviseurs de V, le dernier résultatqui indique qu’un diviseur est r ;cit.e , doit être — Pau lieu de — 1. Eu effet, reprenons les transformationsdu n° 4 , en les effectuant pour mieux fixer les idéessur l’équation du quatrième degré,

p x 4 4. Qx 3 4. R, 2 -f Sx + T = o ;

a étant une racine entière de cette équation, nousavons

T = — P a 4 — Q a 3 — Ra 2 — Sa ;

ainsi divisant successivement para et faisant passer dansle premier membre après chaque division le coeffi-cient qui devient isolé, nous aurons la suite d’opéra-tions

— — Pa 3 — Qa 1 — Ra — S

= — Pa 2 — Qa — Ra

? + s

--R

_«_= — Pa — O

+ R

a

a

+ Q

p.

18. Prenons pour exemple l’equation